Механика. Молотков Н.Я - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

97
4.7. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
При произвольном движении твёрдого тела его разные матери-
альные точки движутся с различными скоростями
i
v
. Кинетическая
энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кине-
тических энергий всех материальных точек, на которые это тело мож-
но мысленно разбить
∑
=
=
n
i
ii
K
m
E
1
2
2
v
. (4.7.1)
Если тело вращается вокруг неподвижной оси Oz (рис. 4.6) с уг-
ловой скоростью
ω
, то линейная скорость i-й точки равна
ii
hω=v
,
где
i
h
– расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно,
кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
22
2
1
2
2
к.вр
ω
=
ω
=
∑
=
z
n
i
ii
I
hmE
, (4.7.2)
где
z
I
– момент инерции тела относительно оси вращения.
Найдём кинетическую энергию при
плоском движении тела. Пусть, например,
цилиндр массой m катится по горизон-
тальной плоскости (рис. 4.12) со скоростью
C
v
, С – центр масс. Учитывая, что при
качении цилиндра точка P неподвижна, и
она является мгновенным центром скоро-
стей, для кинетической энергии имеем
2
2
ω
=
P
K
I
E
, (4.7.3)
где
P
I
– момент инерции тела, относительно оси, проходящей через
точку Р. По теореме Штейнера имеем
2
mRII
CP
+=
,
где R – радиус цилиндра. Следовательно, получим
2
2
222
RmI
E
C
K
ω
+
ω
=
.
Учитывая, что
С
R
v
=ω
– скорость центра масс тела, окончатель-
но получим
2
2
v
22
ω
+=
CС
K
Im
E
. (4.7.4)
Рис. 4.12

Страницы