Математика. Мордовина Е.Е - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

15
Выполнение заданий:
а) Запишем заданное дифференциальное уравнение в виде
2
1 x
dx
dy
xy −=
. Оно является уравнением с разделяющимися перемен-
ными и легко преобразуется к уравнению с разделёнными переменны-
ми
dx
x
x
dyy
2
1−
=
(при условии, что
0
≠
x
).
Интегрируя обе части последнего уравнения, имеем
∫ ∫ ∫
−= dxx
x
dx
dyy
, откуда
С
x
x
y
~
2
ln
2
22
+−=
,
где
С
~
– произвольная постоянная.
Полученный общий интеграл данного дифференциального урав-
нения можно преобразовать к виду
Сx
xy
~
ln
2
2
22
+=+
или
Сxxy
~
2ln2
22
+=+
.
Применяя свойство логарифмов и полагая
СС =
~
2
, окончательно
имеем
Сxxy +=+
222
ln
.
б)
∗
Заданное дифференциальное уравнение запишем в виде
xy
y
y
2
2
−
−=
′
или в виде
yx
y
y
−
=
′
2
2
. (1)
Заметим, что оно является однородным относительно
x
и
y
, так
как при любом постоянном
λ
для правой части этого уравнения
(
)
(
)
yxfy ,=
справедливо тождество
(
)
(
)
yxfyxf ,, =λλ
. Действитель-
но, для нашего случая имеем
( )
yx
y
yx
y
yx
y
−
=
−λ
λ
=
λ−λ
λ
2
2
2
2
2
2
.

Страницы