Математика. Мордовина Е.Е - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

16
Решение такого дифференциального уравнения осуществляется с
использованием подстановки
x
y
z =
. Другими словами, решение тако-
го дифференциального уравнения ищем в виде
(
)
xxzy =
. (2)
Тогда по правилу дифференцирования произведения двух функ-
ций имеем
zxzy +
′
=
′
или
zx
dx
dz
y +=
′
. (3)
Подставляя (3) и (2) в (1), получим уравнение
xzx
xz
zx
dx
dz
−
=+
2
2
или
( )
z
zx
xz
x
dx
dz
−
−
=
2
2
.
После преобразования правой части последнего уравнения имеем
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
z
z
x
dx
dz
−
=
2
2
.
Преобразовав его к дифференциальному уравнению с разделён-
ными переменными, получим
x
dx
dz
z
z
=
−
2
2
. (4)
Интегрируя обе части уравнения (4), имеем
∫∫∫
=−
x
dx
z
dz
z
dz
2
2
,
откуда
Сxz
z
+=−− lnln
2
.
С учётом используемой подстановки
x
y
z =
имеем
Сx
x
y
y
x
+=−− lnln
2
или окончательно
Сy
y
x
+=− ln
2
.

Страницы