Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

100
потенциальной энергии. Таким образом, для описания процессов
релаксации фононной подсистемы необходим учет
ангармонизмов, то есть слагаемых, содержащих третью и более
высокие степени смещений атомов
, в (6.7).
j
ls
u
r
,
Рассмотрим, к
каким фононным процессам они приводят.
Сравнивая выражения (7.9а) и (7.15), (7.16) легко увидеть, что
оператор
[
)(
ˆ
)(
ˆ
)(2
)(
ˆ
2/1
kaka
k
kq
pp
p
p
rr
r
h
r
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
ω
]
. (7.25)
Операторы смещения атомов
выражаются через
j
ls
u
r
,
ˆ
)(
ˆ
kq
p
r
формулой, которая отличается от выражения (7.2) заменой
величин
и на их операторы.
j
ls
u
r
,
)(kq
p
r
Таким образом, оператор смещения атома, является
линейной комбинацией операторов рождения и уничтожения
фононов:
∑∑
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
p
k
j
s
ps
j
ls
kpe
kNM
u
r
r
r
r
h
),(
)(2
ˆ
2/1
,
ω
)exp()](
ˆ
)(
ˆ
[ lkikaka
pp
r
r
r
v
−+⋅
+
. (7.26)
Квадратичное по смещениям слагаемое в операторе
потенциальной энергии (смотри формулу (6.7)) вместе с
оператором кинетической энергии приводятся к виду (7.20).
Кубическое по смещениям слагаемое в (6.7) после подстановки в
него выражения (7.26) сведется к суперпозиции следующих
комбинаций операторов
и
a
ˆ
+
a
ˆ
с некоторыми коэффициентами
(трехфононные процессы):
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
123123
12
3
1
23
kakakakakaka
pp
p
p
pp
r
r
r
r
r
r
+
++
,
)(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
123123
123
123
kakakakakaka
ppp
ppp
r
r
r
r
rr
+
++
. 
                                          100

потенциальной энергии. Таким образом, для описания процессов
релаксации    фононной      подсистемы           необходим учет
ангармонизмов, то есть слагаемых, содержащих третью и более
высокие степени смещений атомов u sj, lr , в (6.7).
     Рассмотрим, к каким фононным процессам они приводят.
Сравнивая выражения (7.9а) и (7.15), (7.16) легко увидеть, что
оператор
                                            1/ 2
                       r ⎛ h ⎞
                 qˆ p (k ) = ⎜       r ⎟
                             ⎜ 2ω p (k ) ⎟
                                                   [aˆ   p (
                                                             r
                                                             k ) + ˆ
                                                                   a +
                                                                     p ( −
                                                                           r
                                                                           k ]
                                                                             ).     (7.25)
                             ⎝           ⎠
                                                                                      r
     Операторы смещения атомов                     uˆ sj,lr    выражаются через qˆ p (k )
формулой, которая отличается от выражения (7.2) заменой
                         r
величин u sj, lr и q p (k ) на их операторы.
    Таким образом, оператор смещения атома, является
линейной комбинацией операторов рождения и уничтожения
фононов:
                                                              1/ 2
                                ⎛         h          ⎞             r
                uˆ j r   = ∑ ∑r ⎜                 r ⎟ esj ( p, k ) ⋅
                           p k ⎜⎝ 2 NM sω p (k ) ⎠
                                                     ⎟
                  s ,l
                                     v        +
                                                   r         rr
                            ⋅ [aˆ p (k ) + aˆ p (− k )] exp(ik l ) .                (7.26)

     Квадратичное по смещениям слагаемое в операторе
потенциальной энергии (смотри формулу (6.7)) вместе с
оператором кинетической энергии приводятся к виду (7.20).
Кубическое по смещениям слагаемое в (6.7) после подстановки в
него выражения (7.26) сведется к суперпозиции следующих
комбинаций операторов â и â + с некоторыми коэффициентами
(трехфононные процессы):
                 r           r          r             r         r          r
         aˆ +p3 (k3 )aˆ +p2 (k 2 )aˆ p (k1 ), aˆ +p3 (k3 )aˆ p (k 2 )aˆ p (k1 ) ,
                                      1                       2          1
            +
                 r      +
                             r       +
                                        r             r         r          r
         aˆ p3 (k3 )aˆ p 2 (k 2 )aˆ p1 (k1 ), aˆ p (k3 )aˆ p (k 2 )aˆ p (k1 ) .
                                                   3                 2      1

Страницы