Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

104
∑∑
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
><+>=<
kp
p
kp
pp
kknkE
rr
r
h
r
r
h
,,
)(
2
1
)(
2
1
)(
ωω
∑
><+
kp
pp
knk
r
r
r
h
,
)()(
ω
. (8.2)
Первое слагаемое в правой части (8.2), представляющее
собой энергию нулевых колебаний кристалла Е
0
, отнюдь не
является несущественной постоянной. В гелии эта энергия
превосходит энергию плавления кристалла. Поэтому при
атмосферном давлении гелий остается жидким вплоть до
абсолютного нуля температуры.
Переходя согласно (6.29), от суммирования по
k
r
к
интегрированию по первой зоне Бриллюэна, находим
∑
∫
−
+>=<
p
p
p
Tk
k
kd
VEE
1)/)(exp(
)(
)2(
3
3
0
r
h
r
h
r
ω
ω
π
. (8.3)
Полученное выражение для <Е> позволяет определить
теплоемкость кристалла при постоянном объеме
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
>
<
∂
=
V
V
T
E
C
(8.4)
2
23
3
)(
]1)/)([exp(
)/)(exp(
)2(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∫
T
k
Tk
Tk
kd
V
p
p
p
p
r
h
r
h
r
h
r
ω
ω
ω
π
.
8.2. Случай высоких температур
В пределе
можно получить выражение для
теплоемкости ристалла, не конкретизируя вид законов
дисперсии
Tk
p
<<)(
r
h
ω
к
)(k
p
r
ω
. 
                                   104
                       r ⎡1           r ⎤ 1             r
      < E >= ∑r hω p (k ) ⎢ + < n p (k ) >⎥ = ∑r hω p (k ) +
             p ,k         ⎣2              ⎦ 2 p ,k
                                  r         r
                     + ∑r hω p (k ) < n p (k ) > .                 (8.2)
                          p ,k


     Первое слагаемое в правой части (8.2), представляющее
собой энергию нулевых колебаний кристалла Е0, отнюдь не
является несущественной постоянной. В гелии эта энергия
превосходит энергию плавления кристалла. Поэтому при
атмосферном давлении гелий остается жидким вплоть до
абсолютного нуля температуры.                          r
     Переходя согласно (6.29), от суммирования по k к
интегрированию по первой зоне Бриллюэна, находим
                                    r          r
                                  3
                                 d k   hω p ( k )
         < E >= E 0 +V ∑ ∫                  r
                                3 exp(hω ( k ) /T ) − 1
                                                        .          (8.3)
                       p ( 2π )         p


     Полученное выражение для <Е> позволяет определить
теплоемкость кристалла при постоянном объеме

                          ⎛∂ < E >⎞
                     CV = ⎜              ⎟ =                       (8.4)
                          ⎝ ∂T ⎠V
                  r                  r                     r 2
                3
               d k     exp( hω    ( k  ) / T )  ⎛ h ω   ( k )⎞
        =V ∑ ∫
                               p
                                 r              ⎜     p      ⎟ .
                   3                           2⎜            ⎟
           p ( 2π ) [exp(hω p ( k ) /T ) − 1] ⎝      T       ⎠

              8.2. Случай высоких температур

                      r
     В пределе hω p (k ) << T можно получить выражение для
теплоемкости rкристалла, не конкретизируя вид законов
дисперсии ω p (k ) .

Страницы