Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 107 стр.

                                            107

                                     ω p (k ) = s p k
где s p = const
  2. Первая зона Бриллюэна, которая представляет собой
многогранник в пространстве волновых векторов, заменяется на
шар с тем же объемом. Радиус этого шара qD (дебаевский
волновой вектор) находится из условия равенства объемов:

                              V ЗБ = 8π 3 /v яч = 4πq D3 / 3 ,                (8.10)

где vЯЧ - объем элементарной                            ячейки     в   координатном
пространстве. Отсюда

                                   q D = (6π 2 /v яч )1 / 3 .                 (8.11)

     В области низких температур, когда hω max >> T , где ω max -
максимальная частота акустической ветви, акустические фононы
с   большими     волновыми     векторами     выморожены,  r     а
присутствующие в кристалле фононы с энергиями hω p (k ) ≤ T
обладают волновыми векторами k << q D , для которых линейный
закон дисперсии является хорошим приближением.
     Найдем, используя выражение (8.3) и закон дисперсии (8.9),
энергию акустических фононов. Переходя к сферическим
координатам и выполняя интегрирование по углам в (8.3),
получим

                                    3 qD    k 2dk         hs p k
            ак
       =   E 0ак   +V   ∑ ∫                                 .      (8.12)
                                   p =1 0   2π 2 exp(hs p k /T ) − 1

     Сделаем замену переменных

                                      z p = hs p k /T .                       (8.13)