Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

114
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
−
>
=
).( если ,
)2(
])([
),( если ,0
)(
0
2/1
321
2
2/1
0
0
k
k
k
p
p
p
p
r
r
r
ωω
αααπ
ωω
ωω
ω
ν
(9.11)
Функция
)(
ω
ν
p
имеет корневую особенность (см. рис.9.1).
Производная функции
)(
ω
ν
p
слева при
стремится к -
∞, а справа при
0)(
0
−→ k
p
r
ωω
0)(
0
+→ k
p
r
ωω
равна нулю.
В точке минимума оптического закона дисперсии ситуация
полностью аналогична рассмотренной, и дли получения
)(
ω
ν
p
надо изменить знаки перед
ω
и
)(
0
k
p
r
ω
в правой части выражения
(9.11).
Исследуем теперь седловую точку первого типа. Пусть для
определенности
3
α
>0, а
1
α
,
2
α
<0.
После замены (9.9) приведем выражение (9.8) к виду
]
~~~
)([
)2(
~
~
~
)(
222
0
2/1
321
3
zyxp
zyx
p
qqqk
qdqdqd
−++−=
∫
r
ωωδ
αααπ
ω
ν
. (9.12)
Вводя новую переменную
2/122
)
~
~
(
~
yx
qqq +=
⊥
и выражая
qd
~
3
в цилиндрических координатах, получаем
=−+−=
⊥
⊥⊥
∫
]
~~
)([
)2(
~
~
~
)(
22
0
2/1
321
2
zp
z
p
qqk
qdqdq
r
ωωδ
αααπ
ω
ν
(9.13)
∫∫
−+−=
⊥⊥
−
гргр
гр
q
zp
q
q
z
qqkqdqd
0
22
0
2
2/1
321
2
]
~~
)([)
~
(
~
8
1
r
ωωδ
αααπ
где q
гр
– величина порядка q
D
. 
                                                    114
                                              r
                     ⎧0, если ω > ω p (k 0 ),
                     ⎪⎪         r
          ν p (ω ) = ⎨ [ω p (k 0 ) − ω ]1 / 2                  r                           (9.11)
                      ⎪                 1/ 2
                                              , если ω < ω p (k 0 ).
                              2
                      ⎪⎩ (2π ) α1α 2α 3

Функция ν p (ω ) имеет корневую особенность (см. рис.9.1).
                                                           r
Производная функции ν p (ω ) слева при ω → ω p (k0 ) − 0
                                          r
стремится к -∞, а справа при ω → ω p (k0 ) + 0 равна нулю.
     В точке минимума оптического закона дисперсии ситуация
полностью аналогична рассмотренной, и дли получения ν p (ω )
                                        r
                                  ω
надо изменить знаки перед ω и p 0 ) в правой части выражения
                                      ( k
(9.11).
     Исследуем теперь седловую точку первого типа. Пусть для
определенности α 3 >0, а α1 , α 2 <0.
     После замены (9.9) приведем выражение (9.8) к виду

                  dq~x dq~y dq~z                           r
ν p (ω ) = ∫                       1/ 2
                                        δ [ω − ω p (k 0 ) + q~x2 + q~y2 − q~z2 ] .         (9.12)
                    3
               (2π ) α1α 2α 3

                             ~      ~ 2   ~ 2 1/ 2
                                                               r
                                                              3~
      Вводя новую переменную q⊥ = ( q x + q y )    и выражая d q
в цилиндрических координатах, получаем

                           q~⊥ dq~⊥ dq~z                           r
       ν p (ω ) = ∫                           1/ 2
                                                   δ [ω − ω p (k 0 ) + q~⊥2 − q~z2 ] =     (9.13)
                             2
                        (2π ) α1α 2α 3
                                  q гр       q гр
                   1                                                   r
                                    ∫ dq~z          d (q⊥ )δ [ω − ω p (k 0 ) + q~⊥2 − q~z2 ]
                                                       ~ 2
      =                    1/ 2               ∫
          8π 2 α1α 2α 3           − q гр      0


где qгр – величина порядка qD.

Страницы