Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

115
Если , то аргумент
δ
-функции обращается в ноль
при интегрировании по
)(
0
k
p
r
ωω
<
2
~
⊥
q
для любых
грz
qq
<
<
~
. При этом
∫
==
гр
q
zp
constqd
0
2/1
321
2
~
)2(
1
αααπ
ν
. (9.14)
Более точное рассмотрение показывает, что формула (9.14)
является оценкой по порядку величины, так как при
грz
qq ~
~
уже
не применимо разложение (9.7). Однако ясно, что при
)(
0
k
p
r
ωω
<
)(
ω
ν
p
не имеет особенностей и слабо зависит от
ω
при малых
:
)(
0
k
p
r
ωω
−
)]([)(
0
kOconst
pp
r
ωωω
ν
−+=
, (9.15)
где O(
γ
) – совокупность членов первой и более высоких степеней
по параметру
γ
.
Если
, аргумент дельта-функции в (9.13)
обращается в нуль при интегрировании по
)(
0
k
p
r
ωω
>
2
~
⊥
q , только если
2/1
0
)]([
~
kq
pz
ωω
−>
. Следовательно,
2/1
321
2
2/1
0
)]([
2/1
321
2
)2(
)]([
~
)2(
1
2/1
0
αααπ
ωω
αααπ
ν
ωω
k
constqd
p
q
k
zp
гр
p
r
r
−
−==
∫
−
, (9.16)
то есть
)(
ω
ν
p
имеет корневую особенность при :
)(
0
k
p
r
ωω
>
−∞→
∂
∂
+→ 0)(
0
)(
k
p
p
r
ωω
ω
ων
; const
k
p
p
=
∂
∂
−→ 0)(
0
)(
r
ωω
ω
ων
. 
                                                 115
                   r
     Если ω < ω p (k0 ) , то аргумент δ-функции обращается в ноль
при интегрировании по q~ 2 для любых q~ << q . При этом
                                      ⊥                             z            гр

                                                                    q гр
                                                  1
                           νp =
                                             2               1/ 2       ∫ dq~z   = const .            (9.14)
                                     (2π ) α1α 2α 3                     0


Более точное рассмотрение показывает, что формула (9.14)
является оценкой по порядку величины, так как при q~z ~ q гр уже
                                                              r
не применимо разложение (9.7). Однако ясно, что при ω < ω p (k0 )
ν p (ω ) не имеет особенностей и слабо зависит от ω при малых
          r
ω − ω p (k 0 ) :
                                                                                 r
                              ν p (ω ) = const + O[ω − ω p (k0 )] ,                                   (9.15)

где O(γ) – совокупность членов первой и более высоких степеней
по параметру γ.               r
      Если ω > ω p (k 0 ) , аргумент дельта-функции в (9.13)
обращается в нуль при интегрировании по q~⊥2 , только если
                 r
 q~z > [ω − ω p (k 0 )]1 / 2 . Следовательно,

                                          q гр                                    r
                 1                                                      [ω − ω p (k 0 )]1 / 2
νp =
            2             1/ 2             ∫ rdq~z = const −                     2            1/ 2
                                                                                                     , (9.16)
       (2π ) α1α 2α 3            [ω −ω p ( k 0 )]1 / 2                  (2π ) α1α 2α 3

                                                         r
то есть ν p (ω ) имеет корневую особенность при ω > ω p (k 0 ) :

    ∂ν p (ω )                                            ∂ν p (ω )
                          r          → −∞ ;                                           r      = const .
       ∂ω       ω →ω p ( k 0 ) + 0                         ∂ω           ω →ω p ( k 0 ) − 0

Страницы