Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

131
где kkk
′′′′′′
r
r
r
,, - волновые векторы первичного фонона и вторичных
фононов, соответственно. Здесь и в дальнейшем мы используем
вместо импульса переменную
h
r
r
/pk =
. При правильном
написании гамильтониана во вторично квантованном виде
операторы рождения частиц должны стоять левее операторов
уничтожения (так называемое нормальное произведение
операторов).
Вычислим теперь матричный элемент одного слагаемого
гамильтониана (10.15) (не путать с
)1(
3
ˆ
H
),,,,,(
321
kkgpppC
′
′
′
r
r
r
)
между собственными функциями гармонического приближения.
Он отличен от нуля, если число фононов ветви р
1
с волновым
вектором
k
′
r
в конечном состоянии на единицу меньше, а число
фононов ветвей р
2
и р
3
, с волновыми векторами
k
′′
r
и
k
′′′
r
- на
единицу больше, чем в исходном.
Пусть
,
)(
1
kn
p
′
r
)(
2
kn
p
′′
r
, )(
3
kn
p
′′′
r
- число соответствующих
фононов в исходном состоянии. Тогда матричный элемент
одного слагаемого
в между исходным состоянием
)1(
3
ˆ
h
)1(
3
ˆ
H
>
′′′′′′
,...)(),(),(
321
knknkn
ppp
r
r
r
и конечным состоянием
>+
′′′
+
′′
−
′
,...1)(,1)(,1)(
321
knknkn
ppp
r
r
r
равен с учетом (7.17)
),(
ˆ
,...1)(,1)(,1)(
1321
)1(
3
knhknknkn
pppp
′
+
′′′
+
′′
−
′
<
r
r
r
r
=>
′′′′′
knkn
pp
),...(),(
32
r
r
(10.17)
2/1
321
)]}(1)][(1)[(){,,,,,(
321
knknknkkgpppC
ppp
′′′
+
′′
+
′′′′
=
r
r
r
r
r
r
.
На самом деле, любое собственное состояние
гармонического приближения характеризуется числом фононов
на каждой из мод. Но поскольку изменяются числа фононов
только для трех из них, мы не стали указывать числа фононов для
остальных мод, обозначив их многоточием.
Запишем теперь, пользуясь формулами (10.10), (10.12),
вклад в интеграл столкновений, предполагая, что левая часть 
                                            131
       r r r
где k ′, k ′′, k ′′′ - волновые векторы первичного фонона и вторичных
фононов, соответственно. Здесь и в rдальнейшем мы используем
                                                       r
вместо импульса переменную k = p / h . При правильном
написании гамильтониана во вторично квантованном виде
операторы рождения частиц должны стоять левее операторов
уничтожения (так называемое нормальное произведение
операторов).
        Вычислим теперь матричный элемент одного слагаемого
   (1)                                                                 r r r
Ĥ 3 гамильтониана (10.15) (не путать с C ( p1 , p2 , p3 , g , k ′, k ′′) )
между собственными функциями гармонического приближения.
Он отличен      r от нуля, если число фононов ветви р1 с волновым
вектором k ′ в конечном состоянии на единицу меньше,              r     аr число
фононов ветвей р2 и р3, с волновыми векторами k ′′ и k ′′′ - на
единицу больше,rчем в исходном.  r             r
        Пусть n p1 (k ′) , n p2 (k ′′) , n p3 (k ′′′) - число соответствующих
фононов в исходном состоянии. Тогда матричный элемент
одного слагаемого ĥ3(1) в Ĥ 3(1) между исходным состоянием
      r            r            r
n p1 (k ′), n p 2 (k ′′), n p3 (k ′′′),... >      и       конечным       состоянием
      r                 r                  r
n p1 (k ′) − 1, n p2 (k ′′) + 1, n p3 (k ′′′) + 1,... > равен с учетом (7.17)

                   r                  r               r                        r
                                                                    ˆ (1)
           < n p1 (k ′) − 1, n p2 (k ′′) + 1, n p3 (k ′′′) + 1,... h3 n p1 (k ′),
                                        r           r
                                 n p2 (k ′′), n p3 (k ′′′),... > =                     (10.17)
                         r r r                 r                r             r
     = C ( p1, p2 , p3 , g , k ′, k ′′){n p1 (k ′)[1 + n p2 (k ′′)][1 + n p3 (k ′′′)]}1 / 2 .

     На    самом     деле,   любое     собственное    состояние
гармонического приближения характеризуется числом фононов
на каждой из мод. Но поскольку изменяются числа фононов
только для трех из них, мы не стали указывать числа фононов для
остальных мод, обозначив их многоточием.
     Запишем теперь, пользуясь формулами (10.10), (10.12),
вклад в интеграл столкновений, предполагая, что левая часть

Страницы