Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

133
7. Производим суммирование (интегрирование) по всем
квантовым числам, кроме тех, что отвечают той частице,
функция распределения которой входит в левую часть
уравнения Больцмана. Заменяя суммирование по волновому
вектору на интегрирование, мы домножаем выражение на
33
)2/(
π
i
kVd
r
, где V - объем кристалла, и интегрируем по
первой зоне Бриллюэна.
8.
Интеграл столкновений представляет собой сумму вкладов
всех возможных процессов.
Запишем, пользуясь этими правилами, все вклады
трехфононных процессов в интеграл столкновений. Первые два
из них обусловлены теми слагаемыми в
и , которые
соответствуют фиксированным значениям р
)1(
3
H
)2(
3
H
1
=р и
k
k
r
r
=
′
,
определяемым левой частью кинетического уравнения. Наряду с
ними существуют еще два вклада, связанные с процессами, в
которых фонон ветви р с волновым вектором
k
r
возникает в
результате распада другого фонона или, наоборот, сливается с
другим фононом, порождая новый фонон. Им отвечают
слагаемые в
и , в которых p
)1(
3
H
)2(
3
H
2
=p и
k
k
r
r
=
′
′
.
Окончательно интеграл столкновений принимает вид
∑∑
∫
⎩
⎨
⎧
⋅=
2,1
2
121
3
1
3
),,,,,(
)2(
2
ppg
ст
kkgpppC
kVd
I
r
rr
r
r
h
π
π
⋅−+−−⋅ )]()()([
11
21
kgkkk
ppp
r
r
r
h
r
h
r
h
ωωωδ
(10.19)
+−+++−⋅ ))(1))((1)(([
11
21
kgknknkn
ppp
r
r
r
r
r
,
+−+++ )]()())(1(
11
21
kgknknkn
ppp
r
r
r
r
r
⋅−+−−+ )]()()([,,,,,(
11
2
121
21
kgkkkkkgpppC
ppp
r
r
r
h
r
h
r
h
r
r
r
ωωωδ
−−+++⋅ ))(1))((1)(([
11
21
kgknknkn
ppp
r
r
r
r
r
,
}
)]()())(1(
11
21
kgknknkn
ppp
r
r
r
r
r
−++−
. 
                                         133

  7. Производим суммирование (интегрирование) по всем
     квантовым числам, кроме тех, что отвечают той частице,
     функция распределения которой входит в левую часть
     уравнения Больцмана. Заменяя суммирование по волновому
     вектору на интегрирование, мы домножаем выражение на
           r
     Vd 3 k i /( 2π ) 3 , где V - объем кристалла, и интегрируем по
     первой зоне Бриллюэна.
  8. Интеграл столкновений представляет собой сумму вкладов
     всех возможных процессов.

     Запишем, пользуясь этими правилами, все вклады
трехфононных процессов в интеграл столкновений. Первые два
из них обусловлены теми слагаемыми в H 3(1) и H 3( 2) , которые
                                                           r r
соответствуют фиксированным значениям р1=р и k ′ = k ,
определяемым левой частью кинетического уравнения. Наряду с
ними существуют еще два вклада, связанные с rпроцессами, в
которых фонон ветви р с волновым вектором k возникает в
результате распада другого фонона или, наоборот, сливается с
другим фононом, порождая новый фонон. Им отвечают
                                                r      r
слагаемые в H 3(1) и H 3( 2) , в которых p2=p и k ′′ = k .
     Окончательно интеграл столкновений принимает вид
                                              r
                       2π               Vd 3k1 ⎧                    r r r 2
            I ст =           ∑ ∑∫                ⎨ C ( p, p1 , p2 , g , k , k1 ) ⋅
                        h p1, p 2 gr (2π )3 ⎩
                                r             r               r r r
                    ⋅ δ [hω p (k ) − hω p1 (k1 ) − hω p2 (k + g − k1 )] ⋅          (10.19)
                           r             r                r r r
                ⋅ [−n p (k )(1 + n p1 (k1 ))(1 + n p2 (k + g − k1 )) + ,
                                    r         r         r r r
                      + (1 + n p (k ))n p1 (k1 )n p2 (k + g − k1 )] +
                        r r r2                r             r                r r r
  + C ( p1 , p, p2 , g , k1 , k δ [hω p1 (k1 ) − hω p (k ) − hω p 2 (k1 + g − k )] ⋅
                            r            r               r r r
                  ⋅ [n p1 (k1 )(1 + n p (k ))(1 + n p2 (k1 + g − k )) − ,
                                                                  }
                                     r         r        r r r
                       − (1 + n p1 (k1 ))n p (k )n p2 (k1 + g − k )] .

Страницы