Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 21 стр.

                                      21

  Заметим, что «произведение», вообще говоря, не обладает
  свойством коммутативности, то есть g i ⋅ g j ≠ g j ⋅ g i . Если
  коммутативность имеет место, то говорят, что группа абелева.
  2. Существует единичный элемент Е , такой, что для любого
     gi ∈ G :
                     E ⋅ gi = gi ⋅ E = gi .

  3. Произведение обладает свойством дистрибутивности, то
     есть для любых g1 , g 2 , g 3 ∈ G :

                      g1 ⋅ ( g 2 ⋅ g 3 ) = ( g1 ⋅ g 2 ) ⋅ g 3 .

  4. Для     любого      gi ∈ G         имеется           обратный    элемент,
    принадлежащий к множеству G ( gi−1 ∈ G ), такой, что

                       gi ⋅ gi−1 = g i−1 ⋅ gi = E .

Упражнение: показать, что множество целых чисел образует
группу по отношению к бинарной операции сложения, а
множество рациональных чисел – группы по отношению к
бинарным операциям сложения и умножения.

    Вернемся теперь к элементам симметрии кристалла.
Докажем следующие леммы:

Лемма 1. Совокупность всех элементов симметрии кристалла
        образует пространственную группу симметрии
        кристалла.

Лемма      2. Совокупность точечных элементов                        симметрии
           кристалла образует точечную группу                        симметрии
           кристалла.