Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 22 стр.

                              22

      «Произведением» для преобразований симметрии является
их последовательное применение к идеальному бесконечному
кристаллу. Поскольку каждое преобразование переводит
кристалл в состояние, тождественное первоначальному, то их
последовательное применение также переведет кристалл в
состояние, тождественное первоначальному. То есть требования
1 и 3 выполнены.
      Единичным преобразованием является отсутствие какого-
либо геометрического преобразования.
      Несколько больше времени потребуется на доказательство
того, что требование 4 также выполнено. Легко указать рецепт
построения обратного преобразования: надо совершить все
действия в обратном по отношению к прямому преобразованию
порядке (то есть поменять местами начальное и конечное
состояния).
      Например, для поворота относительно оси на угол 3600/n
обратным преобразованием будет поворот относительно той же
оси на тот же угол, но в обратном направлении. Для зеркального
отражения обратной операцией будет оно само, то есть повторное
зеркальное отражение вернет все точки кристалла в исходное
состояние. Это же относится и к операции инверсии: она является
обратным
 r         элементом для себя самой. Для трансляции на векторr
T обратным преобразованием будет трансляция на вектор − T .
Нахождение элементов, обратных к другим пространственным
преобразованиям симметрии предоставляем читателю.
      Поскольку начальное и конечное состояния кристалла,
подвергшегося преобразованию симметрии, тождественны, то
обратное преобразование переводит кристалл в состояние,
тождественное первоначальному. Таким образом, мы показали,
что требование 4 также выполнено. Лемма 1 доказана.
      Для доказательства Леммы 2 необходимо показать, что при
последовательном     применении     двух    любых     точечных
преобразований симметрии хотя бы одна точка кристалла
остается на месте, то есть что «произведение» двух точечных
преобразований симметрии также является точечным. Это может
быть не так, если, к примеру, центр инверсии не лежит на оси