Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74
последующие слагаемые в разложении (6.7) называют
ангармоническими. Ниже мы оценим величину малого параметра
/d, по которому, на самом деле, происходит разложение.
Потенциальная энергия атома изменяется на величину порядка
себя самой при его смещении на расстояние порядка
межатомного. Поэтому
j
sl
u
,
r
d
E
r
rW
ат
j
sl
j
sl
пот
~
})({
,
,
r
r
∂
∂
;
2
,
,
,
2
~
})({
'
''
d
E
rr
rW
ат
j
sl
j
sl
j
sl
пот
r
r
r
∂∂
∂
и т.д.,
где Е
ат
- энергия атомного масштаба. Таким образом, каждый
последующий член разложения (6.7) содержит лишнюю степень
малого параметра
/d.
j
sl
u
,
r
Рассмотрим уравнения движения атомов кристалла в
гармоническом приближении, учитывая только квадратичный по
член в (6.7). Уравнения Лагранжа имеют вид
j
sl
u
,
r
0
,,
=
∂
∂
−
∂
∂
j
sl
j
sl
u
L
u
L
dt
d
rr
&
. (6.8)
Подставляя L в виде
∑∑
=
−=
n
s
N
l
sl
s
uML
1
2
,
)(
2
1
r
r
&
r
(6.9)
∑∑∑
==
=
∂∂
∂
−
3
1,1,
,
,
)0(
,,
,
,
,
2
''
'
''
'
'
''
}{}{
})({
2
1
jj
n
ss
j
sl
j
sl
j
sl
j
sl
N
ll
j
sl
j
sl
j
sl
пот
uu
rr
rr
rW
r
r
rr
rr
r
r
r
. 
                                              74

последующие слагаемые в разложении (6.7) называют
ангармоническими. Ниже мы оценим величину малого параметра
u lrj , s /d, по которому, на самом деле, происходит разложение.
Потенциальная энергия атома изменяется на величину порядка
себя самой при его смещении на расстояние порядка
межатомного. Поэтому

        ∂W пот ({rlrj, s })       E ат     ∂ 2W пот ({rlrj, s })           E ат
                              ~        ;                               ~           и т.д.,
              ∂rlrj, s                                                         2
                                                                 '
                                   d              ∂rlrj, s ∂r rj' '        d
                                                             l ,s


где Еат - энергия атомного масштаба. Таким образом, каждый
последующий член разложения (6.7) содержит лишнюю степень
малого параметра u lrj , s /d.
           Рассмотрим уравнения движения атомов кристалла в
гармоническом приближении, учитывая только квадратичный по
u lrj , s член в (6.7). Уравнения Лагранжа имеют вид

                                   d ∂L         ∂L
                                             −       = 0.                                             (6.8)
                                   dt ∂u& rj   ∂u rj
                                           l ,s           l ,s

Подставляя L в виде

                                    1 n N       r
                              L=      ∑∑r M s (u&lr ,s ) 2 −                                          (6.9)
                                    2 s =1 l

                                   2            j
    1 3              n      N ∂ W пот ({r r })                                                    '
                                              l ,s
  −      ∑ ∑ r∑r                                                                   u lrj , s u rj '     .
    2 j ' , j =1s ' , s =1 l ' , l ∂r rj ∂r rj '                                               l ,s '
                                     l ,s     ' '
                                            l s           {rlrj, s } = {rlrj, s(0) }

Страницы