Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78
∑
∑
−
=
=
hh
ikhhGikhhGkG )exp()()exp()()(
.
Совершая замену переменных h
→ -h, получаем
∑
−
=
−
=
h
kGikhhGkG )()exp()()(
.
Нетривиальное (u
0
≠0) решение уравнения (6.15) имеет место
тогда, когда
2/1
/)()( MkGk ==
ωω
. (6.16)
Таким образом, условие существования нетривиального
решения позволяет определить зависимость собственной частоты
колебаний атомов от волнового вектора. Зависимость
ω
(k)
называется законом дисперсии колебаний.
Кроме того, G(k=0)=0, так как при k=0 из (6.14) следует, что
все u
l
одинаковы: происходит сдвиг всей атомной цепочки как
целое без изменения расстояний между атомами. Поэтому
никаких результирующих сил, действующих на атомы в новых
положениях равновесия, не возникает, и правая часть уравнения
(6.13) должна равняться нулю. Но величины u
l
=u
0
≠0 и,
следовательно,
∑
=
=
=
h
kGhG 0)0()(
.
В силу четности функции G(k) оказывается, что при малых k
G(k)
∝k
2
и
s
k
k
=
)(
ω
. (6.17)
где s=const есть скорость продольной звуковой волны,
распространяющейся по цепочке. Колебания, закон дисперсии
которых имеет вид (6.17) при k
→
0, называют акустическими.
Употребляя термин "малые k", мы не указали, по сравнению с 
                                        78

           G ( k ) = ∑G (h ) exp(ikh ) = ∑G ( − h ) exp(ikh ) .
                    h                            h
     Совершая замену переменных h → -h, получаем

                G ( k ) = ∑G (h ) exp( −ikh ) = G ( − k ) .
                            h
     Нетривиальное (u0≠0) решение уравнения (6.15) имеет место
тогда, когда

                                                      1/ 2
                     ω = ω (k ) = G (k ) / M                 .    (6.16)

     Таким образом, условие существования нетривиального
решения позволяет определить зависимость собственной частоты
колебаний атомов от волнового вектора. Зависимость ω(k)
называется законом дисперсии колебаний.
     Кроме того, G(k=0)=0, так как при k=0 из (6.14) следует, что
все ul одинаковы: происходит сдвиг всей атомной цепочки как
целое без изменения расстояний между атомами. Поэтому
никаких результирующих сил, действующих на атомы в новых
положениях равновесия, не возникает, и правая часть уравнения
(6.13) должна равняться нулю. Но величины ul=u0≠0 и,
следовательно,

                        ∑G ( h ) = G ( k        = 0) = 0 .
                        h


     В силу четности функции G(k) оказывается, что при малых k
G(k) ∝ k2 и

                                ω (k ) = sk .                     (6.17)

где s=const есть скорость продольной звуковой волны,
распространяющейся по цепочке. Колебания, закон дисперсии
которых имеет вид (6.17) при k→0, называют акустическими.
Употребляя термин "малые k", мы не указали, по сравнению с

Страницы