Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 79 стр.

                                     79

чем. Величины G(h) существенно отличны от нуля для h ≤ r0 . где
r0 - радиус взаимодействия атомов в цепочке. Поэтому значения
k, много меньшие 2π/r0, можно считать малыми и разлагать
экспоненту в (6.15) по степеням k.
      В частности, в случае взаимодействия с ближайшими
соседями, когда каждый из атомов можно условно считать
связанным пружинками с жесткостью κ c ближайшими к нему
атомами, r0=d, а сила, действующая на атом в ячейке l со стороны
правого атома, равна

                           F+ = κ (u l +1 − u l ) ,

где (u l +1 − u l ) - удлинение пружинки.
      Аналогично, сила, действующая со стороны левого соседа,
равна
                              F− = κ (ul −1 − ul )

Уравнения движения принимают вид

                    M u&&l = κ (u l +1 + u l −1 − 2u l ) .

     Подставляя ul в виде (6.14), получаем

                      ω(k)=2(κ/M)1/2 ⎢sin(kd/2) ⎢.           (6.18)

При малых k ω(k)≈d(κ/M)1/2k, следовательно s=d(κ/M)1/2. Вид
закона дисперсии ω(k) приведен на рис. 6.2.
     Легко видеть, что при малых k групповая vгр = dω / dk и
фазовая vф = ω / k скорости волн совпадают и равны s. При k=π/d
vгр=0, а vф=2s/π.