Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

80
-
π
/d
+
π
/d
0
ω
k
Рис.6.2. Закон дисперсии продольных акустических волн в
линейной цепочке
из одинаковых атомов
Мы получили периодическую зависимость
ω
(k) с периодом
2
π
/d. И это не случайно. Поскольку l=nd, где n - целое число, а
)exp(
0
tiikdnuu
l
ω
−
=
,
то изменение k на величину 2
π
/d не приводит к изменению ни
одного из смещений u
l
. То есть волны, для которых k отличаются
на g=2
π
m/d, где m - целое число, неразличимы. Отметим, что g
является вектором одномерной решетки, обратной по отношению
к нашей цепочке.
По аналогии с проведенным рассмотрением можно
сформулировать принцип, справедливый для решеток любой
размерности: в дискретной периодической среде волновой вектор
определен с точностью до вектора обратной решетки.
Поэтому
k
r
выбирают обычно в пределах первой зоны
Бриллюэна (в нашем случае -
π
/d<k
≤
π
/d ).
В заключение данного раздела рассмотрим еще один
вопрос. Предшествующее изложение было проведено для
бесконечной цепочки. Что изменится, если мы ограничим ее
размеры? Очевидно, что вблизи оборванных концов цепочки
колебания будут происходить не так, как в середине. Для
исключения этих граничных эффектов замкнем концы цепочки.
Пусть в ней N атомов.
Тогда условие замыкания имеет вид 
                                   80

                               ω




                                                        k
              -π/d                  0               +π/d

   Рис.6.2. Закон дисперсии продольных акустических волн в
            линейной цепочке из одинаковых атомов

      Мы получили периодическую зависимость ω(k) с периодом
2π/d. И это не случайно. Поскольку l=nd, где n - целое число, а

                     u l = u 0 exp(ikdn − iωt ) ,

то изменение k на величину 2π/d не приводит к изменению ни
одного из смещений ul. То есть волны, для которых k отличаются
на g=2πm/d, где m - целое число, неразличимы. Отметим, что g
является вектором одномерной решетки, обратной по отношению
к нашей цепочке.
     По аналогии с проведенным рассмотрением можно
сформулировать принцип, справедливый для решеток любой
размерности: в дискретной периодической среде волновой вектор
определен с точностью
               r       до вектора обратной решетки.
     Поэтому k выбирают обычно в пределах первой зоны
Бриллюэна (в нашем случае -π/d

Страницы