Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

82
Будем искать решение системы (6.20) в виде
)exp(
0,1,1
tiikluu
l
ω
−
= ;
])2/(exp[
0,2,2
tidlikuu
l
ω
−
+
= ; (6.21)
где
и - амплитуды смещений, а l и l+d/2 - координата
атомов соответствующего сорта в l-ой элементарной ячейке.
0,1
u
0,2
u
Подставляя (6.21) в (6.20), получаем
2
0,1
2
1
=uM
ω
κ )]2/cos([
0,20,1
kduu
−
; (6.22)
2
0,2
2
2
=uM
ω
κ )]2/cos([
0,10,2
kduu
−
.
Условие существования нетривиального решения системы
двух линейных уравнений (6.22) имеет вид
0
22)cos(2
2)cos(22
2
2
2
1
=
−
−
M kd/ -
kd/ - M
ωκκ
κωκ
. (6.23)
Отсюда следуют два закона дисперсии для колебаний атомов
цепочки:
2/122
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1
2
,
)]2/(sin4)[( kd
OA
ωωωωωωω
−++= m
, (6.24)
где
= κ/M
2
1
ω
1
, = κ/M
2
2
ω
2
, а знаки минус и плюс соответствуют
акустическим (А) и оптическим (О) колебаниям. Графически эти
зависимости изображены на рис.6.3. Разлагая (6.24) при малых
k,
легко получить, что для k<<2
π
/d
2/12
2
2
121
)](2/[
ωωωωω
+= kd
A
, (6.25) 
                                      82

Будем искать решение системы (6.20) в виде

                        u1, l = u1,0 exp(ikl − iωt ) ;
                 u 2, l = u 2,0 exp[ik (l + d / 2) − iωt ] ;               (6.21)

где u1,0 и u 2,0 - амплитуды смещений, а l и l+d/2 - координата
атомов соответствующего сорта в l-ой элементарной ячейке.
     Подставляя (6.21) в (6.20), получаем

                   M 1ω 2u1,0 = 2 κ [u1,0 − u 2,0 cos(kd / 2)] ;           (6.22)

                M 2ω 2u 2,0 = 2 κ[u 2,0 − u1,0 cos(kd / 2)] .

     Условие существования нетривиального решения системы
двух линейных уравнений (6.22) имеет вид

              2κ − M 1ω 2               - 2κ cos(kd/ 2)
                                                           = 0.            (6.23)
                                                       2
              - 2κ cos(kd/ 2)              2κ − M 2ω

Отсюда следуют два закона дисперсии для колебаний атомов
цепочки:

      ω A2 ,O = ω12 + ω22 m [(ω12 + ω22 ) 2 − 4ω12ω22 sin 2 (kd / 2)]1 / 2 , (6.24)

где ω12 = κ/M1, ω 22 = κ/M2, а знаки минус и плюс соответствуют
акустическим (А) и оптическим (О) колебаниям. Графически эти
зависимости изображены на рис.6.3. Разлагая (6.24) при малых k,
легко получить, что для k<<2π/d

                          ω A = kd ω1ω 2 /[ 2(ω12 + ω 22 )]1 / 2 ,         (6.25)

Страницы