Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

87
приводит к уравнению степени 3n относительно переменной
ω
2
.
Его решение дает 3n законов дисперсии
)(k
p
r
ω
где р=1, 2 ... 3n.
Но даже в случае n=1 мы имеем дело с кубическим уравнением,
выражение для корней которого является достаточно
громоздким. Для n≥2 аналитическое решение уравнения (6.36) в
общем виде отсутствует, и его корни могут быть найдены только
численными методами.
Подставив найденное значение
)(k
p
r
ω
в (6.34), можно
определить собственные векторы
, то есть выразить все
остальные компоненты через
(или любую другую
компоненту). Сама же величина
может быть задана
произвольно. Для определенности вводят нормированные
собственные векторы, обозначаемые
. Условия
нормировки имеют вид
j
s
u
1
1
u
1
1
u
),( kpe
j
s
r
∑∑
=
js
pq
j
s
j
s
kqekpe
δ
),(),(
r
r
, (6.37a)
∑
=
p
ssjj
j
s
j
s
kpekpe
''
'
'
),(),(
δδ
r
r
. (6.37б)
Векторы
называют векторами поляризации. Вектор
поляризации показывает, как и куда смещается атом сорта s в
волне с волновым вектором
),( kpe
j
s
r
k
r
, относящейся к ветви под номером
р.
Обсудим одно важное свойство получившихся решений.
Как отмечалось в конце параграфа 6.2, уравнения движения
инвариантны относительно комплексного сопряжения и
изменения знака времени. Проведение обеих этих
преобразований в (6.31) эквивалентно замене
k
r
на
k
r
−
. Таким
образом, уравнения (6.34) должны быть инвариантны
относительно такой замены. Для этого необходимо и достаточно, 
                                         87

приводит к уравнению степени 3n относительноr   переменной    ω2
                                                                 .
Его решение дает 3n законов дисперсии ω p (k ) где р=1, 2 ... 3n.
Но даже в случае n=1 мы имеем дело с кубическим уравнением,
выражение для корней которого является достаточно
громоздким. Для n≥2 аналитическое решение уравнения (6.36) в
общем виде отсутствует, и его корни могут быть найдены только
численными методами.                      r
     Подставив найденное значение ω p (k ) в (6.34), можно
определить собственные векторы u sj , то есть выразить все
остальные    компоненты        через          u11     (или        любую   другую
компоненту). Сама же величина u11 может быть задана
произвольно. Для определенности вводят нормированные
                                             r
собственные векторы, обозначаемые   esj ( p, k ) . Условия
нормировки имеют вид

                          j
                                 r   j
                                              r
                    ∑ ∑ es ( p, k )es (q, k )       = δ pq ,              (6.37a)
                    j s


                        j
                              r j'        r
                    ∑ es ( p, k )e ' ( p, k ) = δ jj ' δ ss ' .           (6.37б)
                     p               s

                      r
     Векторы esj ( p, k ) называют векторами поляризации. Вектор
поляризации показывает, какr и куда смещается атом сорта s в
волне с волновым вектором k , относящейся к ветви под номером
р.
     Обсудим одно важное свойство получившихся решений.
Как отмечалось в конце параграфа 6.2, уравнения движения
инвариантны относительно комплексного сопряжения и
изменения    знака        времени.   Проведение r обеихr    этих
преобразований в (6.31) эквивалентно замене k на − k . Таким
образом, уравнения (6.34) должны быть инвариантны
относительно такой замены. Для этого необходимо и достаточно,

Страницы