Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы. Морозов А.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

89
7. КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ
7.1. Диагонализация гамильтониана
В гармоническом приближении функция Гамильтона
кристалла имеет вид
поткин
WWH
~
+= , (7.1)
где
и
кин
W
пот
W
~
задаются выражениями (6.4) и квадратичным по
sl
u
,
r
r
слагаемым в (6.7), соответственно.
Рассмотрим сначала выражение для кинетической энергии.
Выразим
согласно (6.39), сделав замену
j
ls
u
r
,
)exp()()( tikQkq
pp
ω
−=
r
r
,
∑∑
=
p
k
p
s
j
s
j
ls
lkikq
NM
kpe
u
r
r
rrr
r
)exp()(
)(
),(
2/1
,
. (7.2)
Единственной зависящей от времени величиной в правой
части уравнения (7.2) является
)(kq
p
r
. Поэтому
∑∑
=
p
k
p
s
j
s
j
ls
lkikq
NM
kpe
u
r
r
rrr
&
r
&
)exp()(
)(
),(
2/1
,
. (7.3)
Подставляя это выражение в формулу (6.4), получаем
∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
===
⋅==
n
s
N
l
j
n
s
ppkk
j
s
sl
sкин
kpe
N
uMW
1
3
11
,,
2
,
''
),(
2
1
)(
2
1
r
rr
r
r
&
r
                                          89

 7. КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
              РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ

               7.1. Диагонализация гамильтониана

     В гармоническом             приближении                 функция          Гамильтона
кристалла имеет вид
                                            ~
                                 H = Wкин + Wпот ,                                       (7.1)

                ~
где Wкин и Wпот задаются выражениями (6.4) и квадратичным по
 r
u lr , s слагаемым в (6.7), соответственно.
    Рассмотрим сначала выражение для кинетической энергии.
    Выразим u sj, lr согласно (6.39), сделав замену

                             r          r
                       q p (k ) = Q p (k ) exp(−iωt ) ,

                                            r
                                 e sj   (p,k )    r          rr
                u sj, lr = ∑∑
                            r
                                            q
                                        1/ 2 p
                                               ( k  ) exp(i k l ).                       (7.2)
                         p k    (M s N )

     Единственной зависящей от rвремени величиной в правой
части уравнения (7.2) является q p (k ) . Поэтому

                                              r
                                   e sj   (p,k )    r          rr
                  u&sj, lr = ∑∑
                              r
                                              q&
                                          1/ 2 p
                                                 ( k  ) exp(i k l ).                     (7.3)
                           p k    (M s N )

    Подставляя это выражение в формулу (6.4), получаем

              1 n N           r& r 2       1        3    n
                                                                         j
                                                                                  r
     W кин   = ∑∑       M s (u  l , s ) =          ∑∑∑                ∑ s
                                                                       e   ( p , k  )⋅
              2 s =1 lr                   2N                         r r
                                                   j =1 s =1p , p ' k , k '

Страницы