Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 10 стр.

                                        -10-
                                             1
   G ( ε ) = G ( µ ) + G ' ( µ )(ε − µ ) +     G ' ' ( µ )(ε − µ ) 2 +... ,           (1.22)
                                             2
                                                           ∞⎛ ∂F ⎞
         I = G ( µ )[ F 0 ( 0) − F 0 ( ∞) ] + G ' ( µ ) ∫ z ⎜ − 0 ⎟ dz +
                                                       −∞ ⎝    ∂z ⎠
                        1            ∞     ⎛ ∂F ⎞
                       + G ' ' ( µ ) ∫ z 2 ⎜ − 0 ⎟ dz +... .                          (1.23)
                        2           −∞     ⎝ ∂z ⎠
                   ∂F 0
      Поскольку         является четной функцией z , то второе слагаемое в
                    ∂z
(1.23) равно нулю (подынтегральное выражение нечетно). Интеграл в
третьем слагаемом не зависит от функции g и обезразмеривается заменой
z~ = z / T . После этого он берется с помощью вычетов. В итоге получаем

                                        π2
                         I = G ( µ) +            G ' ' ( µ )T 2 .                     (1.24)
                                             6
Опущенные слагаемые имеют дополнительную малость (T / ε F ) . Но
                                                                                      2

сама величина химпотенциала µ тоже является функцией температуры,
причем при T <<    ε F отличие µ от ε F также содержит малость порядка
(T / ε F ) 2 . Поэтому необходимо учесть отличие µ от ε F в первом
слагаемом в (1.24) и пренебречь этим отличием во втором слагаемом (учет
этого отличия явился бы превышением точности).
      Разложим величину G( µ ) вблизи значения µ = ε F с точностью до
линейных слагаемых

                  G ( µ) = G ( ε F ) + g( ε F )( µ − ε F ) .                          (1.25)

Окончательно имеем

                                                           π2
              I = G ( ε F ) + g( ε F )( µ − ε F ) +                 g' ( ε F )T 2 .   (1.26)
                                                               6
     Для нахождения зависимости µ (T ) рассмотрим соотношение (1.13).
В данном интеграле в качестве g( ε ) выступает плотность состояний
ν ( ε ) , а величина G (ε F ) равна