Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 9 стр.

                                        -9-
     Формула (1.16) дает только оценку по порядку величины для
электронного вклада в теплоемкость кристалла. Для получения численного
коэффициента      потребуются     существенно      более    громоздкие
математические выкладки. При их проведении мы не будем использовать
конкретный вид закона дисперсии электронов, поэтому полученные
результаты будут справедливы не только в модели желе.
     Рассмотрим вначале способ вычислений интегралов вида

                                    ∞
                             I = ∫ g( ε ) F 0 ( ε ) dε ,                 (1.18)
                                    0

где g( ε ) - степенная функция  ε , которая вблизи ε = ε F существенно
изменяется на характерных масштабах порядка ε F >> T .
     Пусть G( ε ) - первообразная функции g( ε )

                                         ε
                              G ( ε ) = ∫ g( x ) dx .                    (1.19)
                                         0
     Возьмем интеграл (1.18) по частям

            ∞                                  ∞ ∞
       I = ∫ F0 ( ε )dG ( ε ) =G ( ε ) F0 ( ε ) − ∫ G ( ε )dF0 ( ε ) .   (1.20)
           0                                   0 0
     Первое слагаемое в (1.20) обращается в нуль, так как при
ε = 0 G = 0 , а при ε → ∞ экспоненциальное убывание F ( ε ) является
определяющим. Окончательно

                                ∞       ⎛ ∂F ⎞
                          I = ∫ G ( ε ) ⎜ − 0 ⎟ dε .                     (1.21)
                              0         ⎝ ∂ε ⎠

                ⎛ ∂F 0 ⎞
     Величина ⎜ −      ⎟ отлична от нуля в интервале шириной порядка Т
                ⎝ ∂ε ⎠
вблизи µ и экспоненциально убывает за пределами этой области. Поэтому
функцию G ( ε ) можно разложить в ряд Тейлора вблизи точки ε = µ , а
область интегрирования по переменной z = ε − µ расширить от ( − µ , ∞)
до ( −∞, ∞) . Тогда