Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-15-
Поскольку в идеальном бесконечном кристалле все физические величины
остаются неизменным при смещении на вектор трансляции, то этим
свойством должна обладать и плотность вероятности нахождения
электрона в данной точке:
ψψ
() ()
r
r
r
rT r+=
2
2
. (2.3)
Другими словами, модуль
ψ
-функции остается неизменным при
трансляции, но сама
ψ
-функция может изменить фазу:
ψψ
χ
() ()
()
r
r
r
r
rT e r
iT
+= . (2.4)
Здесь
χ
()
r
T - некоторая скалярная безразмерная величина.
Совершим последовательно две трансляции
r
T
1
и
r
T
2
. Тогда
ψψ
χ
()()
()
r
r
r
r
r
r
rT T e rT
iT
++ = + =
12 2
1
=
+
er
iT T[( ) ( )]
()
χχ
ψ
r
r
r
12
. (2.5)
Но поскольку вектор
r
r
r
TTT=+
12
также является вектором трансляции,
то
ψψ
χ
() ()
()
r
r
r
r
rT e r
iT
+=
. (2.6)
Сравнивая (2.5) и (2.6), получаем
χχχ
()()()
r
r
r
r
TT T T
12 1 2
+= + . (2.7)
Поэтому в силу однозначности
ψ
-функции зависимость
χ
()
r
T должна
быть линейной по величине трансляции. Таким свойством обладает
скалярное произведение некоторого фиксированного волнового вектора
r
k
на вектор
r
T
.
χ
()
r
r
r
TkT= . (2.8)
Если мы добавим к вектору
r
k
вектор обратной решетки
r
g
, то в силу
соотношения
r
r
gT n= 2
π
, где n - целое число,
ψ
-функция не изменится. 
                                      -15-
Поскольку в идеальном бесконечном кристалле все физические величины
остаются неизменным при смещении на вектор трансляции, то этим
свойством должна обладать и плотность вероятности нахождения
электрона в данной точке:
                             r r 2        r 2
                          ψ (r + T ) = ψ (r ) .                   (2.3)

Другими словами, модуль ψ -функции остается неизменным при
трансляции, но сама ψ -функция может изменить фазу:
                                            r
                           r r        i χ (T )    r
                        ψ (r + T ) = e         ψ (r ) .           (2.4)
          r
Здесь χ (T ) - некоторая скалярная безразмерная величина.
                                                       r      r
     Совершим последовательно две трансляции T 1 и T 2 . Тогда
                                             r
                     r r       r       i χ (T1 )    r r
                 ψ ( r + T1 + T 2 ) = e          ψ (r + T 2 ) =
                                     r        r
                                          r
                             i [ χ (T1) + χ (T 2 )]
                       =e             ψ (r ) .                   (2.5)
                     r   r     r
Но поскольку вектор T = T 1 + T 2 также является вектором трансляции,
то
                                           r
                          r r        i χ (T )    r
                       ψ (r + T ) = e         ψ (r ) .            (2.6)
Сравнивая (2.5) и (2.6), получаем
                    r     r          r          r
                χ (T 1 + T 2 ) = χ (T 1 ) + χ (T 2 ) .            (2.7)
                                                        r
Поэтому в силу однозначности ψ -функции зависимость χ (T ) должна
быть линейной по величине трансляции. Таким свойством обладает
                                                             r
скалярное произведение
          r            некоторого фиксированного волнового вектора k
на вектор T .
                           r     rr
                       χ (T ) = kT .                              (2.8)
                                r                        r
     Если мы добавим к вектору k вектор обратной решетки g , то в силу
            rr
соотношения gT = 2πn , где n - целое число, ψ -функция не изменится.

Страницы