Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-17-
гамильтониан описывает свободные электроны и его собственными
функциями являются волны де Бройля:
ψ
r
r
r
r
k
ikr
re
()
()
0
1
=
Ω
, (2.11)
где
Ω - объем кристалла. Собственное значение энергии
ε
0
()
r
k равно,
соответственно
ε
0
22
2
()
r
h
r
k
k
m
e
= . (2.12)
В первом порядке теории возмущений, рассчитав диагональный
матричный элемент, получим добавку к
ε
0
()
r
k , равную среднему по
кристаллу значению
Vr()
r
. Действительно
r
r
r
rr r
kVrk Vrdr Vr() () ()=
∫
≡
1
3
Ω
, (2.13)
где черта над
Vr()
r
означает усреднение по объему (или элементарной
ячейке).
В дальнейшем будем отсчитывать энергию от уровня, определяемого
формулой (2.13). При этом выражение (2.12) для
ε
0
()
r
k не изменится.
Рассмотрим теперь недиагональные матричные элементы оператора
Vr()
r
:
r
r
r
rr
r
r
r
kVr k drVre
ik k r
'() ()
(')
=
∫
−
1
3
Ω
. (2.14)
Выражение (2.14) представляет собой Фурье-образ функции
Vr()
r
.
В силу периодичности
Vr()
r
данное выражение отлично от нуля
только если
r
r
r
kk g'−=, где
r
g
- вектор обратной решетки.
Соответствующий матричный элемент мы будем обозначать
r
r
V
g
.
В первом порядке теории возмущений для невырожденного случая
(
εε
00
() ( )
r
r
r
kkg≠+) для волновой функции электрона получим
ψψ
εε
ψ
r
r
r
r
r
r
rr
rr
r
r
k
k
g
kg
g
rr
V
kkg
r() ()
() ( )
()
() ()
=+
−+
∑
+
≠
0
00
0
0
. (2.15) 
                                                 -17-
гамильтониан описывает свободные электроны и его собственными
функциями являются волны де Бройля:
                                                      rr
                                           r       1 ikr
                                  ψ (r0) ( r )   =   e ,                                 (2.11)
                                    k              Ω
                                                            r
где Ω - объем кристалла. Собственное значение энергии ε 0 ( k ) равно,
соответственно
                                                r
                                       r       2 2
                                             h k
                                   ε 0(k ) =       .                                     (2.12)
                                              2me
В    первом       порядке        теории      возмущений,           рассчитав
                                                                   r           диагональный
матричный элемент, получим добавку к                           ε 0 ( k ) , равную среднему по
                       r
кристаллу значению V ( r ) . Действительно

                 r r r         1     r     r       r
                k V ( r ) k = ∫ V ( r ) d 3r ≡ V ( r ) ,        (2.13)
                               Ω
                  r
где черта над V ( r ) означает усреднение по объему (или элементарной
ячейке).
     В дальнейшем будем отсчитывать энергию от уровня,
                                                r      определяемого
формулой (2.13). При этом выражение (2.12) для ε 0 ( k ) не изменится.
   r Рассмотрим теперь недиагональные матричные элементы оператора
V (r ) :
                         r       r r    1   3r    r i ( kr − kr ') rr
                         k ' V ( r ) k = ∫ d rV ( r ) e               .                  (2.14)
                                        Ω
                                                                                   r
Выражение (2.14) представляет собой Фурье-образ функции V ( r ) .
                                r
    В силу периодичности V ( r ) данное выражение отлично от нуля
                       r r r                       r
только      если       k '− k = g ,      где       g       -   вектор   обратной       решетки.
                                                       r
Соответствующий матричный элемент мы будем обозначать V gr .

        rВ первомrпорядке
                        r
                              теории возмущений для невырожденного случая
( ε 0 ( k ) ≠ ε 0 ( k + g) ) для волновой функции электрона получим

       r                  r                             V gr               r
ψ   r (r   )=   ψ (kr0) ( r )   + r∑         r           r r ψ (kr0+) gr ( r ) .         (2.15)
                                 g ≠ 0 ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g)
    k

Страницы