Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

-19-
ψ
r
r
r
kg
r
+
∗
0
0()
() соответственно и интегрируя по dr
3
r
, получаем следующую
систему:
[() ()]() ( ) ,
() [ ( ) ()]( ) ;
εεα α
αε εα
00
00 0
0
0
0
0
rr
r
r
r
rr
r
rr
r
v
r
kkkVkg
Vk kg kkg
g
g
−++=
++− +=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
−
(2.20)
где мы учли что
$
() () ()Hr k r
kk
ψεψ
rr
r
r
r
= . (2.21)
Собственное значение энергии электрона
ε
()
r
k находим из условия
существования нетривиального решения системы (2.20):
εε
εε
0
00
0
0
0
() ()
()()
rr
r
r
r
r
r
kk V
Vkgk
g
g
−
−−
=
−
. (2.22)
Учитывая, что
VV
gg−
∗
=
rr
00
, получаем
εεε
12 0 0 0
1
2
,
() { () ( )
r
r
r
r
kkkg=++±
±−++
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
(() ( )) }
/
εε
000
2
2
12
4
0
r
r
r
r
kkg V
g
, (2.23)
индексы 1 и 2 соответствуют знакам - и + перед корнем. Подставляя
ε
12,
()
r
k в одно из уравнений (2.20) и учитывая условие нормировки
αα
() ( )
r
r
r
kkg
2
0
2
1++ =, (2.24)
находим величины
α
()
r
k и
α
()
r
r
kg+
0
: 
                                       -19-
     ∗      r                                          r
ψ (r0) r ( r ) соответственно и интегрируя по d 3 r , получаем следующую
  k + g0
систему:
                  r          r       r               r r
         ⎧[ ε 0 ( k ) − ε ( k )]α ( k ) + V − g α ( k + g0 ) = 0,
                                              v
         ⎪⎪                                     0

          ⎨                                                               (2.20)
          ⎪ r        r             r r            r       r r
          ⎪⎩V g0 α ( k ) + [ ε 0 ( k + g0 ) − ε ( k )]α ( k + g0 ) = 0;
где мы учли что
                              r         r         r
                    H$ ψ kr ( r ) = ε ( k )ψ kr ( r ) .     (2.21)
                                                       r
Собственное значение энергии электрона ε ( k ) находим из условия
существования нетривиального решения системы (2.20):
             r       r
         ε 0(k ) − ε(k )                V − gr0
                                        r r            r = 0.             (2.22)
         V gr0                    ε 0 ( k − g0 ) − ε ( k )
                              ∗
Учитывая, что V − gr = V gr , получаем
                       0      0

                             r    1        r          r r
                     ε 1,2 ( k ) = {ε 0 ( k ) + ε 0 ( k + g0 ) ±
                                  2
                            r          r r 2                2 1/ 2
                 ± ( ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g0 )) + 4V gr0 ⎤ } ,
                  ⎡                                                       (2.23)
                  ⎢⎣                                          ⎥⎦
индексы
     r 1 и 2 соответствуют знакам - и + перед корнем. Подставляя
ε 1,2 ( k ) в одно из уравнений (2.20) и учитывая условие нормировки

                         r 2        r r 2
                     α ( k ) + α ( k + g0 ) = 1,                          (2.24)
                     r         r r
находим величины α ( k ) и α ( k + g0 ) :

Страницы