Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 20 стр.

                                       -20-
                                                                                  1/ 2
              ⎧           ⎡                   r           r r              ⎤⎫
        r     ⎪ V − gv0   ⎢1 m          ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g0 )         ⎥⎪
α 1,2 ( k ) = ⎨           ⎢                                                    ⎬         ,
                                       r           r r 2                  2⎥
              ⎪ 2V gr0    ⎢⎣   [ ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g0 )] + 4V gr0      ⎥⎦ ⎪⎭
              ⎩
                                                                                (2.25)
                                                                                   1/ 2
                     ⎧          ⎡                   r           r r            ⎤⎫
        r r          ⎪ V gv0    ⎢1 ±          ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g0 )       ⎥⎪
α 1,2 ( k + g0 ) = m ⎨          ⎢                                                  ⎬
                                             r           r r 2                2⎥
                     ⎪ 2V gv0   ⎢⎣   [ ε 0 ( k ) − ε 0 ( k + g0 )] + 4V gr0    ⎥⎦ ⎪⎭
                     ⎩
                                                                               .(2.26)
                                         r
Найдем теперь области
                 r        значений
                                r    k , которым
                                              r r соответствуют найденные
значения ε 1,2 ( k ) , α 1, 2 ( k ) и α 1,2 ( k + g0 ) . Для этого сделаем
предельный переход V gr → 0 . При этом мы должны получить
                                0
                                     r         r             r r
невозмущенное значение энергии ε 0 ( k ) , α ( k ) = 1 и α ( k + g0 ) = 0 .
                                                                     r
     Этому условию удовлетворяет в каждой области значений k только
один из корней. В результате находим, что первое решение справедливо
     rr    r 2
при 2kg0 + g0 > 0 , а второе - при обратном знаке неравенства.
На самой брэгговской плоскости имеет место разрыв закона дисперсии,
причем величина скачка энергии равна           2V gv0   . Для одномерного случая
                          r
вид зависимости       ε ( k ) с учетом всех брэгговских плоскостей ( в
                                              π
одномерии - точек), соответствующих k = ±               n (n - натуральное число,
                                                    d
а d - период решетки), изображен на рис.3а.        r
       Сдвигая соответствующие участки графика ε ( k ) на вектор обратной
               2π
решетки g =       n (n - натуральное число), мы можем все их перенести в
               d
первую зону Бриллюэна (рис.3б). При этом в первой зоне Бриллюэна
возникает набор законов дисперсии, которые будем нумеровать по мере
возрастания энергии. Каждому такому закону дисперсии соответствует
область разрешенных значений энергии - электронная зона. Между ними
имеются области значений энергии, шириной 2V gr в которых нет ни
одного электронного состояния. Они называются запрещенными зонами.