Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 27 стр.

                                             -27-
         Объединим слагаемые попарно:

                    rr        rr
                   ik δ 1    ik δ 2
                   e        +e        = eik x a + e− ik x a = 2 cos k x a ,
и так далее. Окончательно для закона дисперсии в простой кубической
решетке с учетом полученных выражений имеем:
               r
            ε ( k ) = ε 0 + 2~
                             t (cos k x a + cos k y a + cos k z a) .               (2.40)

                   r t < 0 , поэтому минимальная энергия (дно зоны)
Как правило, величина ~
                                                        ε 0 + 6~
соответствует точке k = 0 (центру зоны Бриллюэна) и равна      t ,а
максимальная (потолок зоны) - точкам k x = ± k y = ± k z = ±π / a
(углам зоны Бриллюэна) и равна             ε 0 − 6~
                                                  t . Ширина зоны равна 12 ~t           или
2z ~
   t , где z - число ближайших соседей.

     б) Объемноцентрированная кубическая решетка
                                                                  r    ⎛ a a a⎞
     Здесь у атома восемь ближайших соседей с                     δ = ⎜±  ,± ,± ⎟
                                                                       ⎝ 2 2 2⎠
(знаки выбираются независимо). Попарно группируя слагаемые в (2.39),
находим закон дисперсии:

                   r                  k xa     k ya    k a
               ε ( k ) = ε 0 + 8t cos
                                ~          cos      cos z .                        .(2.41)
                                        2        2      2
    t < 0 дно зоны также расположено в центре зоны Бриллюэна и
При ~
                                        r ⎛      2π ⎞
ε min = ε 0 + 8t , а потолок зоны - при k = ⎜ 0,0 ⎟ и в эквивалентных
               ~
                                            ⎝     a⎠
         r
данному k точках, ε max = ε 0 − 8t~ . Ширина зоны равна 2z ~
                                                           t = 16 ~
                                                                  t .

         в) Гранецентрированная кубическая решетка.
         В этой решетке у атома 12 ближайших                                  соседей     с
r          ⎛    a a⎞ r            ⎛ a     a⎞   r         ⎛ a a ⎞
δ 1− 4   = ⎜ 0,± ,± ⎟ , δ 5 − 8 = ⎜ ± ,0,± ⎟ и δ 9 −12 = ⎜ ± ,± ,0⎟ .
           ⎝    2 2⎠              ⎝ 2     2⎠             ⎝ 2 2 ⎠
Закон дисперсии имеет вид