Физика твердого тела. Электроны. Морозов А.И. - 44 стр.

                                           -44-
     Задача расчета потенциала в такой системе является одномерной,
поскольку ϕ зависит только от х. Уравнение (4.6) принимает вид


                               ϕ /xx/ − κ D2 ϕ = 0.                                   (4.7)

Нас интересует нечетное по х решение уравнения, так как напряженность
поля E x    = −ϕ /x     является четной функцией х. Внутри пластины оно
имеет вид
                               ϕ = ϕ 0 sh(κ D x ) ,                                   (4.8)

а значение      ϕ0       находится         из     граничного     условия       ϕ /x = E 0 .
Окончательно

                                             sh(κ D x )
                  ϕ ( x ) = E 0rD                        ,                            (4.9)
                                           ch(κ D d / 2)
а
                                         ch(κ D x )
                E x ( x ) = −E 0                     .                               (4.10)
                                       ch(κ D d / 2)
     Легко видеть, что напряженность поля убывает экспоненциально
вглубь металла. Характерная глубина проникновения поля в металл равна
rD . Оценим ее величину. При T << ε F в нулевом приближении
∂n
   = ν (ε F )     (предлагаем читателю показать это самостоятельно на
∂µ
                                                   ∂F 0    ∂F
основе раздела 1.2, учитывая, что                       = − 0 ).           Для свободных
                                                   ∂µ       ∂ε
электронов    ν (ε F )       дается формулой (1.11). Тогда для величин
                   −3
ne ≈ 3 ⋅ 1028 ì          и   ε F ≈ 3ýÂ , характерных для типичных металлов,
получаем

                             e2ν ( ε F )          e2ne                −2
                κ D2    =                   ≈              ≈ 1020 ì        ,
                                ε0                ε 0ε F
а