Физика твердого тела. Полупроводники, диэлектрики, магнетики. Морозов А.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

85
где l
r
- вектор трансляции, задающий ячейку, в которой
находится локализованный спин
l
S
r
r
ˆ
,
',ll
J
rr
- обменный интеграл
между спинами
l
S
r
r
ˆ
и
'
ˆ
l
S
r
r
, B
0
– индукция внешнего магнитного
поля, параллельного оси
z нашей системы координат, а
yx
SiSS
ˆˆˆ
±≡
±
. Операторы
±
S
ˆ
действуют на собственную
функцию оператора
)(
ˆ
z
i
S , отвечающую собственному значению
S
M по следующему правилу:
>+−++=>
+
1 ))(1(
ˆ
SSSS
MMSMSMS ,
>−+−+=>
−
1 )1)((
ˆ
SSSS
MMSMSMS . (6.29)
Коммутатор
)(
','
ˆ
2]
ˆ
,
ˆ
[
z
l
llll
SSS
r
rrrr
δ
=
−
+
, (6.30)
где
',ll
rr
δ
- дельта символ Кронекера, равный единице при
'll
r
r
=
и
нулю в противном случае.
Холстейн и Примаков предложили процедуру,
позволяющую выразить операторы спина через операторы
вторичного квантования для гармонического осциллятора
+
а
ˆ
и
а
ˆ
. Мы приведем приближенное выражение для спиновых
операторов через операторы
+
l
а
r
ˆ
и
l
а
r
ˆ
, в котором опущены
слагаемые, содержащие отрицательные степени параметра S:
ll
aSS
rr
ˆ
2
ˆ
=
+
;
+
−
=
ll
aSS
rr
ˆ
2
ˆ
,
ll
z
l
aaSS
rrr
ˆˆ
ˆ
+
−= . (6.31)
Подставляя выражения (6.31) в (6.28) и пренебрегая слагаемыми,
содержащими произведение четырех операторов
+
а
ˆ
и
а
ˆ
,
получаем:
).
ˆˆ
(2
)]
ˆˆˆˆˆˆˆˆ
([
2
1
ˆ
0
',
'
'
'
'
2
',
∑
∑
+
++++
−−
−−−++−=
l
l
l
Б
ll
l
l
l
l
l
lllll
aaSB
aaaaaaaaSSJH
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
rrrrr
µ
(6.32)
Для приведения гамильтониана (6.32) к диагональному виду
сделаем Фурье-преобразование: 
                                                     85
    r
где l -    вектор трансляции, задающий ячейку, в которой
                               r̂
находится локализованный спин Slr , J lr ,lr ' - обменный интеграл
                r̂   r
между спинами S r и Sˆr , B – индукция внешнего магнитного
                              l         l'      0

поля, параллельного оси z нашей системы координат, а
Sˆ ± ≡ Sˆ x ± iSˆ y . Операторы Ŝ ± действуют на собственную
функцию оператора Sˆi( z ) , отвечающую собственному значению
M S по следующему правилу:
           Sˆ + M S > = ( S + M S + 1)( S − M S ) M S + 1 > ,
              Sˆ − M S > = ( S + M S )( S − M S + 1) M S − 1 > .                                    (6.29)
         Коммутатор
                         [ Sˆlr+ , Sˆlr−' ] = 2δ lr ,lr ' Sˆlr( z ) ,
                                                                 (6.30)
                                                               r r
где δ lr ,lr '   - дельта символ Кронекера, равный единице при l = l ' и
нулю в противном случае.
       Холстейн              и         Примаков                   предложили                       процедуру,
позволяющую выразить операторы спина через операторы
вторичного квантования для гармонического осциллятора а̂ + и
а̂ . Мы приведем приближенное выражение для спиновых
операторов через операторы аˆlr+ и аˆlr , в котором опущены
слагаемые, содержащие отрицательные степени параметра S:
             Sˆlr+ = 2 S aˆlr ; Sˆlr− = 2 S aˆlr+ , Sˆlrz = S − aˆlr+ aˆlr .                            (6.31)
Подставляя выражения (6.31) в (6.28) и пренебрегая слагаемыми,
содержащими произведение четырех операторов а̂ + и а̂ ,
получаем:
             1
     Hˆ = − r∑r J lr ,lr ' [ S 2 + S ( aˆlr aˆlr+' + aˆlr+ aˆlr ' − aˆlr+ aˆlr − aˆlr+'aˆlr ' )] −
             2 l ,l '
                                                                                                        (6.32)
                               +
     − 2 µ Б B0 ∑ r
                      ( S − aˆlr aˆlr ).
                    l
     Для приведения гамильтониана (6.32) к диагональному виду
сделаем Фурье-преобразование:

Страницы