Физика твердого тела. Полупроводники, диэлектрики, магнетики. Морозов А.И. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

86
q
q
lqi
l
aeNa
r
r
r
r
r
ˆˆ
2/1
∑
−
= ,
+−−+
∑
=
q
q
lqi
l
aeNa
r
r
r
r
r
ˆˆ
2/1
, (6.33)
где N – число элементарных ячеек в кристалле, а суммирование
происходит по первой зоне Бриллюэна. В результате подстановки
(6.33) в (6.32) получаем
(6.34) ,
ˆˆ
2]
ˆˆ
2
ˆˆ
ˆˆ
)[(
2
ˆ
',
)'(
'
0
)'(
'
',,,
)'('
'
)'('
'0
∑
∑
−+−+
−+−−+
+−
−+−=
qq
lqqi
q
qБ
lqqi
q
q
qqhl
lqqihqi
q
q
lqqihqi
qq
eaaBeaa
eeaaeeaahJ
N
S
EH
rr
r
rr
r
r
r
rr
r
r
rr
rr
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
r
rr
r
µ
где llh
r
r
r
−= ' ,
NSBJNSE
Б 0
2
0
2)0(
2
1
µ
−−=
, J(0) – нулевая Фурье-
компонента
)(hJ
r
( )0()0(
=
= q
J
J
r
), где
=
)(q
J
r
∑
h
hqi
ehJ
r
r
r
r
)( . При
этом мы воспользовались тем фактом, что
',ll
J
rr
в силу
трансляционной симметрии кристалла зависит только от разности
ll
r
r
−' . Сумма
∑
−
l
lqqi
e
r
r
rr
)'(
равна нулю при 'qq
r
r
≠
и N, если 'qq
r
r
= . В
итоге имеем
+−+−=
∑
+
hq
q
q
aahqhJSqJ
S
EH
r
r
r
r
r
r
r
r
,
0
ˆˆ
)cos1)(()(
2
∑
+
q
qqБ
aaB
r
rr
ˆˆ
2
0
µ
, (6.35)
где мы воспользовались правилом коммутации операторов
qq
aа
rr
ˆ
и
ˆ
+
: 1]
ˆˆ
[ =
+
q
q
aа
r
r
.
Объединяя первые два слагаемые в
0
E
′
и учитывая четность
функции
)(q
J
r
и то, что )()0()cos1)(( qJJhqhJ
h
r
r
r
r
r
−≡−
∑
, получаем
∑
+
+
′
=
q
qq
aaqEH
r
rr
r
ˆˆ
)(
ˆ
0
ε
, (6.36)
где
0
2)]()0([)( BqJJSq
Б
µ
+
−
=
r
r
(6.37) 
                                                                  86
                                                    rr                                                  rr
                                     −1 / 2
                    aˆlr    =N                ∑    iql r
                                                  e aˆ q ,          aˆlr+    =N       −1 / 2
                                                                                                 ∑ e − iql +
                                                                                                           aˆ qr ,          (6.33)
                                                r                                                r
                                                q                                                q
где N – число элементарных ячеек в кристалле, а суммирование
происходит по первой зоне Бриллюэна. В результате подстановки
(6.33) в (6.32) получаем
            S                        r                       r r        r r r                          r r      r r r
                                                   +     −                −
Hˆ = E0 −      r   r∑            J ( h )[aˆ qr aˆ qr ' e   iq ' h
                                                                  e i ( q   q ' ) l
                                                                                    + aˆ qr aˆ qr ' e e ' − q )l −
                                                                                          +          iq ' h i ( q
           2 N l , h , qr , qr '
                            r r r                                               r r r
− 2aˆ q+r aˆ qr '   e   i ( q ' − q )l
                                         ] + 2 µ Б B0 aˆ q+r aˆ qr '
                                                          ∑            e    i ( q ' − q )l
                                                                                             ,                              (6.34)
                                                     r r
                                                     q,q'
    r r r             1
где h = l '−l , E0 = − NS 2 J (0) − 2 µ Б SB0 N , J(0) – нулевая Фурье-
                      2
                  r             r                  r          r iqrhr
компонента J (h ) ( J (0) = J ( q = 0) ), где J (q ) = ∑r
                                                          J ( h )e . При
                                                                                                          h
этом мы воспользовались тем фактом, что                                                                       J lr ,lr '   в силу
трансляционной симметрии             кристалла зависит только от разности
r r                   r r r                       r r              r r
                  i ( q − q ' )l
l '−l . Сумма ∑
              r
                e                равна нулю при  q ≠ q ' и N, если q = q' . В
                                 l
итоге имеем
         S r                 r           r r +r r
 H = E0 − J ( q ) + S ∑r J ( h )(1 − cos qh )aˆ q aˆ q + 2 µ Б B0 ∑ aˆ q+r aˆ qr , (6.35)
         2            r
                      q ,h
                                                                  r
                                                                  q
где мы воспользовались правилом коммутации операторов
аˆ q+r и aˆ qr : [аˆ qr aˆ q+r ] = 1 .
    Объединяя первые два слагаемые в E0′ и учитывая четность
           r                   r           rr                    r
функции J (q ) и то, что ∑
                         r
                           J ( h )(1 − cos q h ) ≡ J ( 0 ) − J ( q ) , получаем
                                                      h
                                                               r
                                              Hˆ = E0′ + ∑ ε ( q )aˆ q+r aˆ qr ,                                            (6.36)
                                                              r
                                                              q
где
                                            r                          r
                                         ε ( q ) = S [ J (0) − J ( q )] + 2 µ Б B0                                          (6.37)

Страницы