Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
1
N(A
1
, A
2
)/N(A
1
) → N(A
2
)/N N → ∞
A
1
, A
2
, . . . , A
k
A
1
A
2
A
1
A
2
P (A
1
A
2
) = P (A
1
) + P (A
2
) ( ).
N(A
1
A
2
)
A
1
A
2
N(A
1
A
2
) =
N(A
1
,
¯
A
2
) + N(A
2
,
¯
A
1
) + N(A
1
, A
2
)
¯
A A
A
1
A
2
N(A
1
, A
2
) = 0 N(A
1
,
¯
A
2
) =
N(A
1
) N(A
2
,
¯
A
1
) = N(A
2
) N(A
1
A
2
) N
A
1
, A
2
, . . . A
k
A
i
A
1
A
2
. . . A
k
k
X
i=1
P (A
i
) = 1 ( ).
A
B
1
, . . . , B
m
C
1
, . . . , C
n
B
i
C
j
P (A)
ñîáûòèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ñîáûòèå A1 ïðîèçîøëî. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé îçíà÷àåò,
÷òî N (A1 , A2 )/N (A1 ) → N (A2 )/N ïðè N → ∞. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê
ôîðìóëå (6.2). Òåîðåìà îá óìíîæåíèè âåðîÿòíîñòåé ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
÷èñëà íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , Ak . Äîêàçàòåëüñòâî ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ
â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
   Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî, êîòîðûì ìîãóò îáëàäàòü ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ,  èõ
íåñîâìåñòíîñòü. Äâà ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè, åñëè ïðè ëþáîì èñ-
ïûòàíèè ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî îäíî èç íèõ. Â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ
îäíî âàæíîå óòâåðæäåíèå, îòíîñÿùååñÿ ê íåñîâìåñòíûì ñîáûòèÿì. Åñëè ñîáûòèÿ
A1 è A2 íåñîâìåñòíû, òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A1 èëè ñîáûòèÿ A2 , ðàâíà
ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé, ò.å.

        P (A1 èëè A2 ) = P (A1 ) + P (A2 )   (äëÿ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé).                (6.3)

Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ åãî äî-
êàçàòåëüñòâà çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî èñïûòàíèé N (A1 èëè A2 ), â êîòîðûõ ïðîèçîøëî
ñîáûòèå A1 èëè ñîáûòèå A2 , â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü òàê: N (A1 èëè A2 ) =
N (A1 , Ā2 ) + N (A2 , Ā1 ) + N (A1 , A2 ), ãäå ñèìâîë Ā îçíà÷àåò, ÷òî ñîáûòèå A íå ïðîèçî-
øëî. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A1 è A2 íåñîâìåñòíû, ïîýòîìó N (A1 , A2 ) = 0, N (A1 , Ā2 ) =
N (A1 ), N (A2 , Ā1 ) = N (A2 ). Ïîñëå äåëåíèÿ N (A1 èëè A2 ) íà N , ìû ïðèõîäèì ê ôîð-
ìóëå (6.3). Òåîðåìà î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé ñïðàâåäëèâà íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî
è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé. Äîêàçàòåëüñòâî îïÿòü
îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.
   Ïðèâåäåì îäíî âàæíîå ñëåäñòâèå èç òåîðåìû î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé. Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè íàì óäàëîñü îïðåäåëèòü ïîëíûé íàáîð
ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 , A2 , . . . Ak . Ïîëíîòà íàáîðà îçíà÷àåò, ÷òî
â êàæäîì èñïûòàíèè îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò îäíî èç ñîáûòèé Ai . Èíà÷å ãîâîðÿ,
ïîëíûé íàáîð âêëþ÷àåò âñå âîçìîæíûå àëüòåðíàòèâû ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèé. Ñî-
áûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî A1 , èëè A2 , . . ., èëè Ak , åñòü äîñòîâåðíîå
ñîáûòèå, ïîýòîìó
        k
                            (äëÿ ïîëíîãî íàáîðà íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé).
        X
              P (Ai ) = 1                                                               (6.4)
        i=1

   Òåîðåìû (6.2) è (6.3) ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Èäåÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ âåðîÿòíîñòè êàêîãî-íèáóäü ñîáûòèÿ A ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðåäñòàâèòü åãî
êàê îäíîâðåìåííîå íàñòóïëåíèå áîëåå ïðîñòûõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé B1 , . . . , Bm èëè
â âèäå ñîâîêóïíîñòè íåêîòîðîãî íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé C1 , . . . , Cn
(àëüòåðíàòèâ). Åñëè âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé Bi èëè Cj èçâåñòíû43 , âåðîÿòíîñòü P (A)
âû÷èñëÿåòñÿ ïî òåîðåìå îá óìíîæåíèè èëè ïî òåîðåìå î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé.
   Ïðèâåäåì äâà ïðîñòûõ ïðèìåðà èç èãðû â êîñòè44 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èãðà
âåäåòñÿ äâóìÿ êîñòÿìè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò øåñòü ãðàíåé. Èç ñîîáðàæåíèé
 43  êàæäîé êîíêðåòíîé çàäà÷å âåðîÿòíîñòè ïîëíîãî íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ
ñîáûòèé çàäàþòñÿ èëè îïðåäåëÿþòñÿ èç "ðàçóìíûõ ñîîáðàæåíèé".
  44 Îöåíêà øàíñîâ â àçàðòíûõ èãðàõ ïîñëóæèëà îäíèì èç ñòèìóëîì äëÿ ðàçâèòèÿ

òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â 17 âåêå.

                                             55

Страницы