Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

i i = 1, 2, . . . , 6
P (i) = 1/6 P (1, 3)
P (1, 3) = P (1)P (3) = 1/36 A
A
P (A) = 3 · (1/36) = 1/12
x
x
1
, x
2
, . . . , x
i
, . . . , x
k
x
i
P (x
i
) x
i
P (x
i
) = lim
N→∞
N(x
i
)
N
,
N(x
i
)
P (x
i
)
x
i
X
x
i
P (x
i
) = 1,
¯x ≡ hxi =
1
N
X
x
i
x
i
N(x
i
).
ñèììåòðèè ÿñíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ i î÷êîâ (i = 1, 2, . . . , 6) ïðè áðîñàíèè
êàæäîé êîñòè ðàâíà P (i) = 1/6. Íàéäåì âåðîÿòíîñòü P (1, 3) òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè
äâóõ êîñòåé íà ïåðâîé âûïàäåò 1 î÷êî, à íà âòîðîé  3 î÷êà. Äàííîå ñîáûòèå 
îäíîâðåìåííîå ïîÿâëåíèå äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ñ èçâåñòíûìè âåðîÿòíîñòÿìè,
ïîýòîìó P (1, 3) = P (1)P (3) = 1/36. Âû÷èñëèì òåïåðü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A,
êîòîðîå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñóììà î÷êîâ íà äâóõ êîñòÿõ ðàâíà 4. Ñîáûòèå A ìîæíî
ðàçëîæèòü íà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ (îáîçíà÷èì èõ ÷èñëîì î÷êîâ íà ïåðâîé
è âòîðîé êîñòÿõ): (1,3), (2,2), (3,1). Âåðîÿòíîñòü êàæäîé èç àëüòåðíàòèâ ðàâíà,
î÷åâèäíî, 1/36. Ïîýòîìó P (A) = 3 · (1/36) = 1/12.
   Äëÿ ïðèëîæåíèé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ê ôèçè÷åñêèì ïðîáëåìàì íàèáîëåå âàæ-
íîå çíà÷åíèå èìååò ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà  ýòî
ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà x, ïðè èçìåðåíèè êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå çíà÷åíèå
èç íåêîòîðîãî íàáîðà x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xk . Ïðèìåðàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò
ñëóæèòü êîîðäèíàòû ìîëåêóëû, åå ñêîðîñòü èëè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Çàìåòèì,
îäíàêî, ÷òî â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå íàèáîëåå èíòåðåñíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìå-
þò, ê ñîæàëåíèþ, íåïðåðûâíûé íàáîð çíà÷åíèé, êîòîðûé íåâîçìîæíî çàíóìåðîâàòü
êàêèì-òî èíäåêñîì. Äëÿ ïðîñòîòû ìû ñíà÷àëà ðàññìîòðèì äèñêðåòíûå ñëó÷àé-
íûå âåëè÷èíû, ò.å. âåëè÷èíû ñ äèñêðåòíûì íàáîðîì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé xi , à
ïîòîì ïîêàæåì, êàê ïåðåéòè ê íåïðåðûâíîìó ñëó÷àþ.
   Âåðîÿòíîñòü P (xi ) ïîÿâëåíèÿ ïðè èçìåðåíèè íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ xi äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàâíà, î÷åâèäíî,

                                                      N (xi )
                                  P (xi ) = lim               ,                      (6.5)
                                                 N →∞  N

ãäå N (xi )  ÷èñëî èçìåðåíèé, â êîòîðûõ ïîÿâëÿåòñÿ ýòî çíà÷åíèå, ê ïîëíîìó ÷èñëó
èçìåðåíèé. Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí P (xi ) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíî-
ñòåé. Îíî ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ñâîéñòâà äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
   Ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèé xi ïðè èçìåðåíèè îáðàçóþò, î÷åâèäíî, ïîëíóþ ñèñòåìó ïî-
ïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé, ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ëþáîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ

                                     X
                                                P (xi ) = 1,                         (6.6)
                                     âñå   xi


êîòîðîå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.
   Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé, ìîæíî âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå èç çíà÷åíèé,
ïîëó÷åííûõ â áîëüøîì ÷èñëå èçìåðåíèé45 :
                                                1 X
                               x̄ ≡ hxi =           x N (xi ).
                                                N x i
                                                   âñå   i

 45 Èìåííîñðåäíèå çíà÷åíèÿ èìåþò ñìûñë îáúåêòèâíûõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåí-
òàëüíûõ èçìåðåíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.


                                                  56

Страницы