Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x = x
i
y = y
j
hxyi = hxihyi ( ).
hxyi
hxyi ≡
X
x
i
,y
j
x
i
y
j
P (x
i
, y
j
) =
X
x
i
,y
j
x
i
y
j
P (x
i
) P (y
j
) =
=
X
x
i
x
i
P (x
i
)
X
y
j
y
j
P (y
j
)
= hxihyi,
P (x
i
, y
j
)
P (x
i
) P (y
j
) x
y A(x = x
i
)
P (x
i
)
A
j
(x = x
i
, y = y
j
) y
j
y
P (x
i
) =
X
y
j
P (x
i
, y
j
).
y
x
x
min
x
max
P (x)
x
x
min
≤ x ≤ x
max
N
x x
min
x
max
N x
x
x
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí ñîáûòèÿ, ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî x = xi è
y = yj , äîëæíû áûòü íåçàâèñèìûìè ñîáûòèÿìè.
   Äîêàæåì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå

         hxyi = hxihyi     (äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).              (6.13)

Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ñðåäíåå çíà÷åíèå hxyi ñëåäóþùèì îáðàçîì:
                        X                       X
               hxyi ≡      xi yj P (xi , yj ) =   xi yj P (xi ) P (yj ) =
                            xi ,yj                             xi ,yj
                                                    
                            X              X
                         =   xi P (xi )   yj P (yj ) = hxihyi,
                                 xi                          yj

ãäå ìû èñïîëüçîâàëè ñîîòíîøåíèå (6.12) äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
   Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî, çíàÿ ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé P (xi , yj ),
ìîæíî íàéòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P (xi ) è P (yj ) (ïðè ýòîì âåëè÷èíû x è
y íå îáÿçàíû áûòü íåçàâèñèìûìè). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ñîáûòèå A(x = xi ),
âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà P (xi ), ìîæíî ðàçëîæèòü íà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñî-
áûòèÿ Aj (x = xi , y = yj ), ãäå yj  ëþáîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå y . Òîãäà, ñîãëàñíî
òåîðåìå î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, èìååì
                                                  X
                                      P (xi ) =              P (xi , yj ).   (6.14)
                                                  âñå   yj

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàõîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ y .
    Äî ñèõ ïîð âñå áûëî ïðîñòî, òàê êàê ïðèâåäåííûå âûøå ïîíÿòèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí  î÷åâèäíûå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèé ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿò-
íîñòåé. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâ-
íûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ò.å. îíè èìåþò íåïðåðûâíûé íàáîð âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé (íàïðèìåð, êîîðäèíàòû èëè ñêîðîñòü ìîëåêóëû). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x
 íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå îò
íåêîòîðîãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ xmin äî ìàêñèìàëüíîãî xmax . Ðàçáåðåìñÿ, ïî÷å-
ìó íàøè ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ òåïåðü íå ñïðàâåäëèâû. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì,
÷òî ñàìî ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòü P (x) òîãî, ÷òî ïðè èçìåðåíèè íåïðåðûâíîé ñëó÷àé-
íîé âåëè÷èíû ïîëó÷èòñÿ çíà÷åíèå x òåïåðü íå èìååò ñìûñëà. Òî÷íåå, ýòà âåðîÿò-
íîñòü äëÿ ëþáîãî xmin ≤ x ≤ xmax ðàâíà íóëþ! Äåëî â òîì, ÷òî ÷èñëî èçìåðåíèé
N (äàæå åñëè îíî î÷åíü âåëèêî) âñåãäà ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ êîëè÷å-
ñòâîì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé x â èíòåðâàëå îò xmin äî xmax . Äàæå åñëè äîïóñòèòü, ÷òî
ïðîâåäåíî áåñêîíå÷íî ìíîãî èçìåðåíèé N , ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî çíà÷åíèé x âîîáùå
íå ïîÿâèòñÿ46 ! Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ x íåïðå-
ðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû [ò.å. ÷àñòîòà åãî ïîÿâëåíèÿ, âû÷èñëåííàÿ ïî ôîðìóëå
(6.5)] ðàâíà íóëþ.
 46 Äåéñòâèòåëüíî,ëþáàÿ ñåðèÿ èçìåðåíèé äàåò äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíû, â òî âðåìÿ êàê âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x  íåïðåðûâíû.  ìà-
òåìàòèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äàæå áåñêîíå÷íûé íàáîð äèñêðåòíûõ òî÷åê íå ìîæåò
"ïîêðûòü" íåïðåðûâíîå ìíîæåñòâî.

                                                   58

Страницы