Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x
Δ
x
x
min
x
i
x
max
x
(x
min
, x
max
)
N ∆x =
(x
max
− x
min
)/N
i
N → ∞
N
x i
δP
i
= P (x
i
< x < x
i
+ ∆x).
δP
i
i
δP
i
f(x
i
) = δP
i
/∆x
f(x
i
) x
x
min
x
max
x
i
f(x
i
)
f(x)
x
δP
i
x
f(x
i
)
x ∆x
X
i
δP
i
=
X
i
f(x
i
) ∆x = 1.
∆x
f(x)
x
min
x
max
f(x)
dx
δP(x)
x
f(x)
x
δP (x)
dx x dx
dx
    Êàê æå ðàçóìíî ââåñòè ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äëÿ çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû? Ïîñêîëüêó ìû óæå çíàåì, êàê ïîñòóïàòü ñ äèñêðåòíûìè
âåëè÷èíàìè, ïðåâðàòèì íàøó ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó x â äèñêðåòíóþ.
                                      Äëÿ ýòîãî ðàçîáüåì èíòåðâàë (xmin , xmax )
               Δx                     íà áîëüøîå ÷èñëî N èíòåðâàëîâ ∆x =
                              x       (xmax − xmin )/N è çàíóìåðóåì èõ èíäåê-
                                      ñîì i (ñì. Ðèñ. 6.1). ×òîáû âåðíóòüñÿ ê
  xmin        xi           xmax       íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, íóæíî
          Ðèñ. 6.1                    áóäåò ïîòîì âûïîëíèòü ïðåäåë N → ∞.
   Òàê êàê ÷èñëî èíòåðâàëîâ N êîíå÷íî, ìîæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ïðè èçìåðåíèè çíà÷åíèå x ïîïàäåò â i-é èíòåðâàë:
                                  δPi = P (xi < x < xi + ∆x).                       (6.15)
Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí δPi ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé
äëÿ èíòåðâàëîâ i. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå óäîáíî èçîáðàæàòü ãðàôè÷åñêè â âèäå ãèñòî-
ãðàììû (ñì. Ðèñ. 6.2). Ïëîùàäü êàæäîé ïîëîñêè íà ãèñòîãðàììå ðàâíà âåðîÿòíî-
ñòè δPi . Ïîýòîìó âûñîòà ïîëîñêè îïðåäåëÿåòñÿ êàê f (xi ) = δPi /∆x. Òàêèì îáðàçîì,
f (xi ) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ x â åäèíè÷íûé èíòåðâàë.
                                                Çàìåòèì, ÷òî âìåñòî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðî-
f(x)                                            ÿòíîñòåé δPi äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ñëó-
                          f(xi)                 ÷àéíîé âåëè÷èíû x ìîæíî èñïîëüçîâàòü
                                                íàáîð çíà÷åíèé f (xi ). Ïîñêîëüêó ïîïàäà-
                                                íèå çíà÷åíèÿ x â ðàçíûå èíòåðâàëû ∆x
                                                 ïîïàðíî íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ, òî ìû
                                     x          èìååì óñëîâèå íîðìèðîâêè
        xmin       xi             xmax              X         X
                                                        δPi =     f (xi ) ∆x = 1.   (6.16)
               Ðèñ. 6.2                                i        i

    Äàëüøå âñå ïðîñòî. Ïðè ñòðåìëåíèè èíòåðâàëîâ ∆x ê íóëþ ãèñòîãðàììà ïðå-
âðàùàåòñÿ â íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f (x), ïîêàçàííóþ íà Ðèñ. 6.3.
 f(x)                                   Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé
                          δP(x)                    ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó-
                                                   ÷àéíîé âåëè÷èíû. Íà ïåðâûé âçãëÿä
                                                   ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî f (x) ïðåäñòàâëÿ-
                                                   åò ñîáîé âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü çíà÷åíèå
                                                   x ïðè èçìåðåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
                                     x
                                                   Îäíàêî, êàê ìû óæå âûÿñíèëè, òàêàÿ
        xmin                  xmax                 âåðîÿòíîñòü äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àé-
                   dx
                                                   íîé âåëè÷èíû ðàâíà íóëþ.
               Ðèñ. 6.3

   Äëÿ ïðàâèëüíîé èíòåðïðåòàöèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ çàìåòèì, ÷òî ðåàëüíûé
ñìûñë èìååò ëèøü âåðîÿòíîñòü δP (x) òîãî, ÷òî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîïà-
äàþò â ìàëûé èíòåðâàë dx îêîëî x (íà ïðàêòèêå âûáîð dx îïðåäåëÿåòñÿ ïîãðåøíî-
ñòüþ èçìåðåíèé, íî ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü dx áåñêîíå÷íî

                                              59

Страницы