Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
δP (x) = f(x) dx.
f(x)
x f(x)
P (x
i
)
f(x)
f(x)
x
max
Z
x
min
f(x) dx = 1,
x
δP (x ) = f(x ) dx
dx
hxi =
Z
x δP (x) =
x
max
Z
x
min
x f(x) dx.
ϕ(x)
x (x, x + dx) ϕ
ϕ(x)
hϕ(x)i =
x
max
Z
x
min
ϕ(x) f(x) dx.
x v
∆v = 1 / f(x) x
−1
ìàëûì èíòåðâàëîì). Òàê êàê f (x) ïîëó÷àåòñÿ èç ãèñòîãðàììû êàê ïðåäåë âûñîòû
ïîëîñêè, òî ìîæíî çàïèñàòü

                                  δP (x) = f (x) dx.                           (6.17)

Ýòî ðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî f (x) åñòü âåðîÿòíîñòü, îòíåñåííàÿ ê åäèíè÷íîìó
èíòåðâàëó çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.    Ïî ýòîé ïðè÷èíå ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò òàêæå ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè47 .
   Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
x ñëóæèò åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f (x), êîòîðàÿ çàìåíÿåò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòåé P (xi ) äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè èñ-
ïîëüçîâàíèè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñåãäà íóæíî ïîìíèòü, ÷òî ñàìà ïî ñåáå f (x)
íå ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ êàêîãî-òî ñîáûòèÿ. Ñâÿçü f (x) ñ âåðîÿòíîñòüþ äàåòñÿ
ôîðìóëîé (6.17). Èíîãäà, äëÿ êðàòêîñòè, óïîòðåáëÿþò íåñòðîãèé òåðìèí âåðî-
ÿòíîñòè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. ßñíî, ÷òî â òàêèõ ñëó÷àÿõ
èìååòñÿ â âèäó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ çíà÷åíèé.
   Åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíà, òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (6.17), ìîæíî
ëåãêî îáîáùèòü âñå âàæíûå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí, íà íåïðåðûâíûé ñëó÷àé. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-
ëåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêè
                                   x
                                   Zmax
                                         f (x) dx = 1,                         (6.18)
                                  xmin


êîòîðîå ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (6.16) â ïðåäåëå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà èíòåðâàëîâ íà
ãèñòîãðàììå. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî xí.â. , ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàê-
ñèìàëüíà, ìîæíî íàçâàòü íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
(ñì. Ðèñ. 6.3), òàê êàê âåðîÿòíîñòü δP (xí.â. ) = f (xí.â. ) dx  ñàìàÿ áîëüøàÿ (ïðè
ôèêñèðîâàííîì dx).
   Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååì
î÷åâèäíîå ïðàâèëî
                              Z               x
                                              Zmax
                         hxi = x δP (x) =         x f (x) dx.                  (6.19)
                                                  xmin

Áîëåå òîãî, ìîæíî óñðåäíÿòü ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ(x). Òàê êàê
ïðè ïîïàäàíèè x â áåñêîíå÷íî ìàëûé èíòåðâàë (x, x + dx) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ϕ
ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ϕ(x), òî
                                          x
                                          Zmax
                             hϕ(x)i =           ϕ(x) f (x) dx.                 (6.20)
                                         xmin

 47 Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x ìîæåò áûòü ðàçìåðíîé (ñêàæåì, ñêîðîñòü ìîëåêóëû v ). Â
ýòîì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î ðàçìåðíîì åäèíè÷íîì èíòåðâàëå. Íàïðèìåð, äëÿ ñêîðîñòè
∆v = 1 ì/ñ. Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå f (x) èìååò ðàçìåðíîñòü x−1 .

                                            60

Страницы