Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(v
x
) = f(−v
x
)
f(v
x
) = Cϕ(v
2
x
), f(v
y
) = Cϕ(v
2
y
), f(v
z
) = Cϕ(v
2
z
),
ϕ(w)
C
v
2
x
v
2
y
v
2
z
F (v
x
, v
y
, v
z
)
F
|~v |
2
= v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
C
0
ϕ
0
(v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
) = C
3
ϕ(v
2
x
) ϕ(v
2
y
) ϕ(v
2
y
),
F
F (v
x
, v
y
, v
z
) = C
0
ϕ
0
(v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
).
C
0
v
y
= v
z
= 0
ϕ
0
(v
2
x
) ϕ(v
2
x
) ϕ(0)
C
0
C ϕ ϕ
0
C
0
= C
3
ϕ(0) = 1
F (v
x
, v
y
, v
z
) = C
3
ϕ(v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
).
ϕ
ϕ(v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
) = ϕ(v
2
x
) ϕ(v
2
y
) ϕ(v
2
y
).
ϕ(0) = 1
ϕ(x) = e
−αx
,
èíäåêñ ïðîåêöèè ñêîðîñòè. Äàëåå, èñõîäÿ îïÿòü-òàêè èç òîãî, ÷òî ãàç íàõîäèòñÿ â
ðàâíîâåñèè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî f (vx ) = f (−vx ), ò.å. ïîëîæèòåëüíîå è îòðèöà-
òåëüíîå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè ñêîðîñòè ðàâíîâåðîÿòíû. Äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäàÿ èõ
ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ïðîåêöèÿì ñêîðîñòè  ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Ýòî
ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ, åñëè

             f (vx ) = Cϕ(vx2 ),       f (vy ) = Cϕ(vy2 ),         f (vz ) = Cϕ(vz2 ),   (6.34)

ãäå ϕ(w)  íîâàÿ, ïîêà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ. Ìû âûäåëèëè èç íåå ïîñòîÿííûé
è ïîêà íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü C . Îáðàòèìñÿ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â ëåâîé
÷àñòè ðàâåíñòâà (6.33). ßñíî, ÷òî îíà  ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ êàæäîãî èõ àðãóìåíòîâ,
ò.å. ôàêòè÷åñêè çàâèñèò îò vx2 , vy2 è vz2 . Âñå àðãóìåíòû äîëæíû âõîäèòü â ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ F (vx , vy , vz ) ñèììåòðè÷íûì îáðàçîì, ïîñêîëüêó â òåïëîâîì ðàâíîâå-
ñèè âñå íàïðàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî F ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò
êâàäðàòà ñêîðîñòè |~v |2 = vx2 + vy2 + vz2 , íî íå îò åå íàïðàâëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì,
ðàâåíñòâî (6.33) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

                      C 0 ϕ0 (vx2 + vy2 + vz2 ) = C 3 ϕ(vx2 ) ϕ(vy2 ) ϕ(vy2 ),           (6.35)

ãäå ìû èñïîëüçîâàëè òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèè F :

                           F (vx , vy , vz ) = C 0 ϕ0 (vx2 + vy2 + vz2 ).                (6.36)

C 0  åùå îäíà ïîñòîÿííàÿ. Ìåæäó íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè, âõîäÿùèìè â ñîîò-
íîøåíèå (6.35), èìååòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü. Ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, vy = vz = 0, ìû âèäèì,
÷òî ϕ0 (vx2 ) ïðîïîðöèîíàëüíà ϕ(vx2 ), òàê êàê ϕ(0)  íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
Ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ êîýôôèöèåíòàìè C 0 è C òàê, ÷òîáû ôóíêöèè ϕ è ϕ0 áûëè
íå ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëüíû, à ñîâïàäàëè. Âçãëÿíóâ åùå ðàç íà ðàâåíñòâî (6.35),
íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ, ÷òîáû C 0 = C 3 è ϕ(0) = 1. Òîãäà
âìåñòî (6.36) ïîëó÷àåì

                           F (vx , vy , vz ) = C 3 ϕ(vx2 + vy2 + vz2 ).                  (6.37)

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ôóíêöèè ϕ ìû èìååì óðàâíåíèå

                          ϕ(vx2 + vy2 + vz2 ) = ϕ(vx2 ) ϕ(vy2 ) ϕ(vy2 ).                 (6.38)

Ðåøèâ åãî, èç ôîðìóë (6.34) è (6.37) ìîæíî íàéòè âñå èíòåðåñóþùèå íàñ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ.
   Â ìàòåìàòèêå ðàçðàáîòàíû ñïåöèàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, ïîäîá-
íûõ (6.38), íî â äàííîì ñëó÷àå âèä ðåøåíèÿ íåòðóäíî óãàäàòü. Äåéñòâèòåëüíî,
ìû èùåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åå çíà÷åíèå îò ñóììû
àðãóìåíòîâ ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ òàêèõ æå ôóíêöèé îò êàæäîãî èç àðãóìåíòîâ.
Êðîìå òîãî, ϕ(0) = 1. Ýòèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò òîëüêî ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ
âèäà
                                   ϕ(x) = e−αx ,                        (6.39)



                                                64

Страницы