Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

hv
2
x
i
v
2
x
=
+∞
Z
−∞
v
2
x
f(v
x
) dv
x
=
r
α
π
+∞
Z
−∞
v
2
x
e
−αv
2
x
dv
x
.
hv
2
x
i
α
+∞
Z
−∞
v
2
x
e
−αv
2
x
dv
x
= −
d
dα
+∞
Z
−∞
e
−αv
2
x
dv
x
=
= −
d
dα
1
√
α
+∞
Z
−∞
e
−y
2
dy
= −
d
dα
√
π
√
α
=
√
π
2α
3/2
.
hv
2
x
i =
1
2α
.
α
C
α =
m
2kT
, C =
r
m
2πkT
.
f(v
x
) =
m
2πkT
1/2
e
−mv
2
x
/2kT
,
F (v
x
, v
y
, v
z
) =
m
2πkT
3/2
e
−mv
2
/2kT
, v
2
= v
2
x
+ v
2
y
+ v
2
z
.
Îòñþäà ñðåäíèé êâàäðàò ïðîåêöèè ñêîðîñòè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òåìïåðàòóðó è ìàññó
ìîëåêóëû ãàçà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñðåäíåå çíà÷åíèå hvx2 i ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëü-
çóÿ ïðàâèëî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
                                 Z+∞                  r Z+∞
                                                       α           2
                         vx2   =    vx2 f (vx ) dvx =      vx2 e−αvx dvx .                         (6.47)
                                                       π
                                 −∞                                 −∞

Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû äëÿ hvx2 i äîëæíû ñîâïàäàòü, òî, âû÷èñëèâ èíòåãðàë, ìû íàé-
äåì α. Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (6.47) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþ-
ùèì îáðàçîì50 :
                                  +∞          
        Z+∞                        Z
                   2           d        2
           vx2 e−αvx dvx = −         e−αvx dvx  =
                             dα
       −∞                                        −∞

                                                            √    √
                                                   
                                           Z+∞
                                    d  1      −y 2       d    π     π
                               = −     √      e dy  = −     √   = 3/2 .
                                   dα    α               dα    α  2α
                                                      −∞

Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â (6.47), ïîëó÷àåì
                                                              1
                                                  hvx2 i =      .
                                                             2α
Ñðàâíåíèå ñ (6.46) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü α, à çàòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (6.45) 
è íîðìèðîâî÷íóþ ïîñòîÿííóþ C :
                                              r
                               m                  m
                          α=      ,      C=           .                 (6.48)
                              2kT               2πkT
Òåïåðü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì (6.40) è (6.41) ìîæíî çàïè-
ñàòü â îêîí÷àòåëüíîì âèäå:

                                                  m 1/2     2
                                     f (vx ) =            e−mvx /2kT ,                             (6.49)
                                                  2πkT

                                      m 3/2     2
               F (vx , vy , vz ) =            e−mv /2kT ,                v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .   (6.50)
                                      2πkT

Äëÿ êðàòêîñòè ìû ïðèâåëè âûðàæåíèå òîëüêî äëÿ îäíîé èç ôóíêöèé (6.40).
   Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (6.50) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ìàêñâåëëà. Åñëè
÷èòàòåëü âñïîìíèò õîä ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ïðèâåëè íàñ ê ýòîìó ðàñïðåäåëåíèþ,
 50 Ñîâåòóåì ÷èòàòåëþ âíèìàòåëüíî ðàññìîòðåòü è çàïîìíèòü ïðèâåäåííûå íèæå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïîëåçíîãî ïðèåìà äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ìíîãèõ èíòåãðàëîâ ñ ýêñïîíåíòîé è äðóãèìè ôóíêöèÿìè  òàê íàçûâàå-
ìîãî  ìåòîäà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.

                                                       66

Страницы