Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. Морозов В.Г - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α
f(v
x
) = C e
−αv
2
x
, f(v
y
) = C e
−αv
2
y
, f(v
z
) = C e
−αv
2
z
,
F (v
x
, v
y
, v
z
) = C
3
e
−α(v
2
x
+v
2
y
+v
2
z
)
.
C α
C > 0
α
C α
f(v
x
)
+∞
Z
−∞
f(v
x
) dv
x
= C
+∞
Z
−∞
e
−αv
2
x
dv
x
= 1.
y =
√
α v
x
y v
x
dv
x
dv
x
= dy/
√
α
C
√
α
+∞
Z
−∞
e
−y
2
dy = 1.
+∞
Z
−∞
e
−y
2
dy =
√
π
C =
r
α
π
.
α
§
x
m hv
2
x
i
2
=
1
2
kT.
ϕ(x)
a
−α
0
x
a α
0
α
0
ãäå α  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ49 . Èòàê, ìû ïîëó÷àåì ïðîñòûå âûðàæåíèÿ äëÿ
ðàâíîâåñíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì:
                               2                           2                            2
              f (vx ) = C e−αvx ,       f (vy ) = C e−αvy ,            f (vz ) = C e−αvz ,   (6.40)
                                                               2   2   2
                              F (vx , vy , vz ) = C 3 e−α(vx +vy +vz ) .                     (6.41)
Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ïîñòîÿííûå C è α. Ïîêà ìîæíî ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî îáå îíè
ïîëîæèòåëüíû. Óñëîâèå C > 0 ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé (6.40) è (6.41) êàê
ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè. ×òî êàñàåòñÿ ïîñòîÿííîé α, òî îíà äîëæíà áûòü ïîëîæè-
òåëüíîé, ÷òîáû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íå ïðèâîäèëè ê àáñóðäó  íåîãðàíè÷åííîìó
ðîñòó ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïðè âîçðàñòàíèè ñêîðîñòè ìîëåêóëû.
   Ïîêàæåì, ÷òî ïîñòîÿííóþ C ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç α. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì, ÷òî
êàæäàÿ èç ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ íîðìèðîâêè.
Íàïðèìåð, ýòî óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè f (vx ) èìååò âèä
                               Z+∞                Z+∞
                                                         2
                                  f (vx ) dvx = C    e−αvx dvx = 1.                          (6.42)
                              −∞                     −∞
                                            √
Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ y = α vx . ßñíî, ÷òî ïðåäåëû èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ïî y è ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî vx ñîâïàäàþò. Åñëè òåïåðü âûðàçèòü
äèôôåðåíöèàë dvx ÷åðåç
                     √ äèôôåðåíöèàë íîâîé ïåðåìåííîé ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíîãî
ñîîòíîøåíèÿ dvx = dy/ α, òî óñëîâèå íîðìèðîâêè (6.42) çàïèøåòñÿ òàê:
                                               Z+∞
                                         C           2
                                         √        e−y dy = 1.                                (6.43)
                                           α
                                               −∞

Èíòåãðàë
                                           Z+∞
                                                 2    √
                                              e−y dy = π                                     (6.44)
                                          −∞

õîðîøî èçâåñòåí â ìàòåìàòèêå è íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà. Ïîäñòàâëÿÿ åãî
çíà÷åíèå â (6.43), íàõîäèì, ÷òî        r
                                         α
                                   C=      .                            (6.45)
                                         π
Èòàê, îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ëèøü ïîñòîÿííóþ α. Ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Èç òåîðåìû î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë
(ñì. § 2.2.) èçâåñòíî, ÷òî ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû, ñâÿçàííàÿ ñ
äâèæåíèåì âäîëü îñè x, ðàâíà
                                            m hvx2 i  1
                                                     = kT.                                   (6.46)
                                              2       2
 49 Âîîáùå  ãîâîðÿ, ϕ(x) íå îáÿçàíà áûòü ýêñïîíåíòîé; ïîäõîäèò ëþáàÿ ôóíêöèÿ
      −α0 x
âèäà a     ñ ïðîèçâîëüíûìè a è α0 . Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ëþáóþ ïîêàçàòåëüíóþ
ôóíêöèþ ëåãêî ïðåâðàòèòü â ýêñïîíåíòó  íóæíî ïðîñòî ïåðåîïðåäåëèòü ïîñòîÿí-
íóþ α0 (äîêàæèòå ýòî ñàìè).

                                                    65

Страницы