Общая физика. Молекулярная физика: Структурированный конспект лекций. Ч.1. Москвич О.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

55
Описание броуновского движения
Поступательное
Для того чтобы охарактеризовать
поступательное броуновское движение,
Будем исходить из решения, полученного
нами для среднего квадрата координаты за
время t при одномерном блуждании
частицы (семинар 2):
tx
α
=
2
(8.4),
где α – константа, подлежащая
определению.
• Поскольку отклонения броуновской
частицы в любом направлении
равновероятны, то
222
zyx ==
,
и следовательно, для среднего
трехмерного квадрата удаления частицы
2
r
можно записать:
txr
α
33
22
==
(8.5)
• Нахождение постоянной α
осуществляется на основе уравнения
движения частицы под действием случайной
силы в вязкой среде:
x
Fxbxm +−=
&&&
(8.6),
где m – масса частицы, F
x
– случайная сила,
действующая на нее, b – коэффициент трения
из-за вязкости среды
• В результате целого ряда
математических преобразований(подробные
выкладки даны в []), уравнение (8.6) удается
привести к виду:
2
)(
2
b
xm
α
=
&
(8.7).
• После замены левой части уравнения
(8.7) на kT(по теореме о равнораспределении
энергии) получим:
bkT /2
=
α
;
в случае рассмотрения шарообразной
броуновской частицы используется формула
Стокса:
0
6 rb
πμ
= ,
где r
0
– радиус шарообразной частицы, μ –
динамическая вязкость среды;
• Для трехмерно смещения броуновской
частицы:
bkTtr /63
2
==
α
(8.8)
– формула Эйнштейна - Смолуховского
Вращательное
Такое движение в теоретическом описании
проще поступательного и легче поддается
опытному исследованию. Это можно
сделать с помощью небольшого легкого
зеркала, подвешенного на упругой нити.
Под действием ударов молекул
окружающего воздуха зеркальце совершает
беспорядочные крутильные колебания
около положения равновесия.
• Закон сохранения энергии при
вращательных колебаниях можем
записать следующим образом:
const
DJ
nk
=+=+
22
22
ϕϕ
εε
&
,
где J – момент инерции зеркала
относительно оси кручения нити, φ –
угол поворота зеркала от положения
равновесия, D – модуль кручения нити.
• Согласно теореме о
равнораспределении энергии по
степеням свободы получим
следующее равенство:
kTDJ
2
1
2
1
2
1
22
==
ϕϕ
&
(8.9)
• Для крутильных колебаний зеркала
находим:
D
kT
=
2
ϕ
(8.10)
Эту величину можно измерить. При
Т=300К,
262
104 рад
−
⋅≈
ϕ
22
)(
ϕϕσ
= - это и есть отклонение
от положения равновесия ,
обусловленное вращательным
броуновским движением.
Прецизионные измерения физических
величин чувствительны к дрожанию
мелких подвижных частей приборов
(стрелок, зеркал на повесе и т.д.)
56
Не только механические, но и электрические флуктуации вносят вклад в погрешность
приборов. Тепловое движение электронов вызывает флуктуации электронной плотности,
что в свою очередь приводит к флуктуациям электрического потенциала в проводнике.
Белый, или тепловой шум в резисторах описывается формулой Найквиста:
fkTRU Δ= 4)(
2
σ
(8.11),
где U – падение напряжения на активном сопротивлении R, ∆f – полоса частот
пропускающего устройства.
В 30-е годы ХХ века был сформулирован
броуновский критерий точности
физических измерений
, который накладывает ограничение на максимально доступную
точность измерения приборов.
Температура как мера флуктуаций
Следует обратить внимание, что во всех рассмотренных случаях (поступательное и
вращательное броуновское движения, найквистовский шум) дисперсии случайных
величин пропорциональны kT. Это универсальное свойство проявляется в различных
физических явлениях. Например, голубой цвет неба объясняется молекулярным
рассеянием света на флуктуациях плотности воздуха в малых объемах (L~λ).
)(
2
I
σ
~
4
λ
kT
,
где I – интенсивность, а λ – длина волны рассеянного света.
Броуновский критерий точности физических измерений
При любом однократном измерении отклика А, т.е. реакции прибора на внешнее
воздействие, относительная погрешность ε не будет меньше, чем величина
%
A
A
бр
Δ
- броуновский стандарт.
%
A
A
бр
Δ
≥
ε
(8.12)
Для рассмотренных выше примеров:
Снижение погрешности измерений
•
Накопление сигнала – многократные измерения.
Уменьшение броуновского стандарта обратно пропорционально
n
, где n –
число опытов, в свою очередь
n ~
τ
, где τ – время измерений. Например: если
τ
1
=1с, то при увеличении времени измерений до τ
2
=100с броуновский
стандарт уменьшается в 10 раз(
10
2
=
τ
).
•
Уменьшение полосы частот пропускающего устройства (узкополосная
измерительная схема).
•
Снижение температуры Т, в результате чего уменьшаются абсолютные
значения самих флуктуаций.

Страницы