ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
производстве и имеет следующее математическое выражение:
()
()
mnm
n
qp
mnm
n
mP
−
−
=
!!
!
, (3.1)
где
()
m
n
C
mnm
n
=
− !!
!
– число способов, которыми можно выбрать
m различных предметов из n различных предметов (число
сочетаний).
Для расчета среднего значения m и дисперсии необходимо
вычислить
<m
k
>, где k = 1, 2 согласно (2.3). В силу
трудоемкости вычислений подобного рода, процедура
суммирования заменяется эквивалентной по результату, но
более простой по форме дифференциальной процедурой:
))((...(
n
k
k
qp
p
p
p
pm +
∂
∂
∂
∂
=
4434421
. (3.2)
Существуют два важнейших предельных случая
биномиального распределения.
Распределение Гаусса (другое его название - нормальное
распределение). При
∞→n и p = const, распределение
плотности вероятности имеет вид
()
2
2
1
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
σ
σπ
mm
emf . (3.3)
В этом предельном случае m является непрерывно
изменяющейся величиной (
〈
m
〉
>>1). Примерами нормального
распределения являются: закон ошибок в метрологии,
распределение попаданий в мишень (прицельная стрельба),
распределение молекул по компонентам скорости в состоянии
теплового равновесия.
Распределение Пуассона (закон редких событий).
При
∞→n и np = const (p<<1)
()
()
m
m
e
m
m
mP
−
=
!
(3.4)
13
Распределение Пуассона описывает вероятности редких
событий, когда
m невелико по сравнению с 1. Такими
событиями могут быть технические катастрофы, биологические
мутации, молекулярное истечение - эффузия, вылет частиц при
радиоактивном распаде ядра. Расчет флуктуаций в этом
предельном случае упрощается:
(
)
,mm =
σ
m
1
=
α
. (3.5)
З а д а ч и
3.1. Уровень технологии, используемый фирмой Кодак, при
производстве фотопленки, гарантирует вероятность брака не
выше 10
-2
процентов. Каждый сотый житель города с
миллионным населением раз в месяц покупает пленку Кодак.
Рассчитать вероятность того, что в данном городе за месяц
продадут m бракованных фотопленок Кодак (m = 0, 1, 2, 4, 10).
Построить график Р(m).
3.2. Два одинаковых сосуда, в которых находится по молю
одного и того же идеального газа при одинаковых условиях,
сообщаются между
собой через отверстие. Какое число молекул
n должно перейти из одного сосуда в другой, чтобы возникшее
состояние стало в
α
= e раз менее вероятным, чем исходное?
3.3. Воспользовавшись формулой (3.2), показать, что
<m>=pn,
222
pnnpqm +>=< . Исходя из этого, определить
стандартное отклонение и относительную флуктуацию
величины m.
3.4. Жители города N очень любят домашних животных. В
каждой семье живет либо кошка, либо собака. В городе на три
кошки приходится одна собака. Сколько кошек проживает в
стоквартирном доме?
3.5. Медленное истечение газа из сосуда в вакуум
через
отверстие, размеры которого много меньше длины свободного
пробега молекул газа, называется эффузией. Газообразный
14
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
