Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

102
Более точное значение получится, если принять функцию f(x, y(x)) в
формуле (8.5) равной значению в центре отрезка. Так как значение
производной между точками
x
i
и x
i+1
не вычисляется, то возьмем
двойной участок
(x
i-1
, x
i+1
).
Из (8.5) следует
;))(,('
∫∫
11
1
++
+=+=
+
i
i
i
i
x
x
i
x
x
ii
dxxyxfydxyyy
(8.15)
С учетом двойного участка, формулу (8.15) можно представить в
виде
. ))(,(
∫
1
1
11
+
=
+
i
i
x
x
ii
dxxyxfyy
(8.16)
Центром интервала (
x
i-1
, x
i+1
) является точка x
i
. Поэтому, заменив в
формуле (8.16) под интегралом функцию
f(x, y(x)) ее значением в точке
x
i
, равным y′
i
=f(x
i
, y
i
) , придем к формуле
.'2
11 iii
hyyy
+
=
+
(8.17)
Эта формула и выражает уточненный метод Эйлера. Однако она
применима лишь при
i≥1, а значение y
1
по ней получить нельзя.
Следовательно, мы не можем выполнить и дальнейших вычислений, т.к.
для нахождения
y
2
надо иметь y′
1
, для чего, в свою очередь, надо иметь
значение
y
1.
В данном случае рекомендуется сначала определить y
1
по
формуле (8.12), а последующие значения
y
i
(
i≠1) определять по формуле
(8.17).
Более точные результаты
получатся, если сначала найти y
1/2
в точке
x
1/2
=x
0
+h/2 по формуле (8.12), а затем искать y
1
по формуле (8.17) с
шагом
h/2. Иначе говоря, рекомендуется следующая последовательность
действий:
),,(
2
'
2
000002/1
yxf
h
yy
h
yy ⋅+=⋅+=
),,('
2/12/102/101
yxfhyyhyy
⋅
+
=
⋅
+=
(8.18)
),,(2'2
110102
yxfhyyhyy
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+=
После этого дальнейшие вычисления идут уже по формуле (8.17)
без изменений.

Страницы