ВУЗ:
Составители:
104
количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость
аппроксимации производных от правых частей дифференциального
уравнения. Основная идея методов Рунге–Кутты заключается в том, что
производные аппроксимируются через значения функции
f(x, y) в точках
на интервале [
x
0
, x
0+h
], которые выбираются из условия наибольшей
близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени
h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные
схемы Рунге–Кутты разных порядков точности.
Так, например, общая форма записи метода Рунге–Кутты второго
порядка следующая:
),(0))],(
2
,
2
(
),()1[(
3
1
hyxf
h
y
h
xf
yxfhyy
iiii
iiii
+
α
+
α
+α+
+
α
+
=
+
(8.19)
где .1α0
≤<
Решение ОДУ, полученное по этой схеме, имеет погрешность 0(
h
2
).
Для параметра
α наиболее часто используют значения
α=0,5 и α=1.
Рассмотрим
первый вариант метода Рунге-Кутта второго порядка.
При
α=0,5 формула (8.19) примет вид
() ()()
[]
iiiiiiii
yxfhyhxfyxf
h
yy ,,,
2
1
++++=
+
.
( 8.20)
Формулу (8.20) можно представить в виде следующей схемы:
где
).,(
),,(
),(
2
1
,
12
1
21
1
kyhxfhk
yxfhk
kky
yyy
ii
ii
i
iii
++=
=
+=∆
∆
+
=
+
(8.21)
Это метод Рунге-Кутты второго порядка (1-й вариант) или
исправленный метод Эйлера.
Геометрически процесс нахождения точки
x
1
, y
1
можно проследить
по рис. 8.5. По методу Эйлера находится точка
x
0
+h, y
0
+h⋅y′
0
, лежащая на
прямой
L
1
. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона
касательной (прямая
L
2
). Усреднение двух тангенсов дает прямую
L
.
Проводим через точку
x
0
, y
0
прямую L, параллельную
L
. Точка, в
которой прямая
L пересечется с ординатой x=x
1
=x
0
+h, и будет искомой
точкой
x
1
, y
1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- …
- следующая ›
- последняя »
