Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

107
8.2.3. Метод Рунге–Кутты четвертого порядка
Методы Рунге–Кутты третьего и четвертого порядков можно
вывести аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого
и второго порядков.
Не будем воспроизводить эти выкладки, а приведем формулы,
описывающие метод четвертого порядка – один из самых применяемых
методов интегрирования ОДУ. Этот метод применяется настолько
широко, что в литературе просто называется «методом
Рунге–Кутты»
без указаний на тип и порядок. Этот классический метод Рунге–Кутты
описывается системой следующих соотношений:
1 iii
yyy
∆
+
=
+
(8.31)
или
),22(
6
1
43211
kkkkyy
ii
++++=
+
где
),,(
1 ii
yxfhk
⋅
=
(8.32)
),
2
,
2
(
1
2
k
hy
h
xfhk
ii
⋅++⋅=
),
2
,
2
(
2
3
k
y
h
xfhk
ii
++⋅=
).,
2
(
34
ky
h
xfhk
ii
++⋅=
Геометрическая интерпретация метода представлена на рис. 8.7.
Порядок построения:
1.
С шагом h/2 из точки М
0
(x
i
, y
i
) под углом y
1
=tg (k
1
/h) проводим
прямую в точку
M
1
(x
i
+h/2, y
i
+h/2).
2.
В точке М
1
вычисляем направление tg(y
2
)=k
2
/h и, делая шаг в
этом направлении, из точки
М
0
попадаем в точку М
2
(x
i
+h/2, y
i
+h/2).
3.
В точке М
2
вычисляем tg(y
3
)=k
3
/h и, делая шаг в этом
направлении, из точки
М
0
попадаем в точку М
3
(x
i
+h/2, y
i
+k
3
).
4.
В точке М
3
вычисляем tg(y
3
)=k
3
/h.
5.
Полученные величины k
1
, k
2
, k
3
, k
4
усредняются по формуле:
).22(
6
1
4321
kkkky
i
+++=∆
(8.33)
6.
Используя величину ∆y
i
, делаем окончательный шаг из (x
i
, y
i
) в
(
x
i+1
, y
i+1
).

Страницы