Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении
начального приближения
х
0
. Каждый такой шаг называется итерацией.
Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных
уравнений.
2.2.1. Метод деления отрезка пополам (метод бисекций)
Пусть дано уравнение f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой
отрезок [
a, b], на котором расположено значение корня ξ, т. е. а<ξ<b. В
качестве начального приближения корня
х
0
(рис. 2.5.) принимаем
середину отрезка
x
0
=(a+b)/2. Далее исследуем значения функции: если
f(x
0
)=0, то х
0
является корнем уравнения, т. е. ξ=x
0
. Если f(x
0
)≠0, то
выбираем одну из половин отрезка [
a, x
0
] или [x
0
, b], на концах которой
функция
f(x) имеет противоположные знаки, т. е. содержит искомый
корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [
x
0
, b].
Вторую половину отрезка на концах которого знак
f(х) не меняется,
Рис. 2.5. Метод деления отрезка пополам
отбрасываем: в данном случае [
a, x
0
]. Отрезок [x
0
, b] вновь делим
пополам. Новое приближение:
x
1
=(x
0
+b)/2. Вновь исследуем функцию
f(x) на концах отрезка и отбрасываем отрезок [x
1
, b], т. к. f(x
1
)>0 и f(b)>0.
Отрезок [
x
0
, x
1
],на концах которого функция имеет
противоположные знаки
f(x
1
)>0, f(x
0
)<0, вновь делим пополам и
получаем новое приближение корня
x
2
=(x
0
+x
1
)/2 и т. д. Итерационный
процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка после
n-й итерации
не станет меньше некоторого заданного малого числа (погрешности)
ε,
т. е.
|
b–a|≤ ε .
(2.3*)

Страницы