Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24
Пример 2.5. Требуется решить нелинейное уравнение e
-x
– x
2
=0.
Допустим, что в результате аналитического отделения корней было
найдено, что корень уравнения находится на интервале [0,1].
x
−2 −1
0 1 2
f(x) 3.389 1.718 1
−0.632 −3.865
Приведем исходное уравнение f(x)= e
-x
– x
2
=0 к эквивалентному
виду
x=ϕ(x). Возможны два варианта:
1)
e
-x
– x
2
=0 ; e
-x
=x
2
; x=−2⋅ln(x); ϕ(x)= −2⋅ln(x),
2)
e
-x
– x
2
=0 ; e
-x
=x
2
; x=
x
e
−
; ϕ(x)=
x
e
−
.
Проверим для каждого из них условие сходимости
()
1<
ϕ
′
x :
1)
() ()()
xxx 2ln2 −=
′
⋅−=ϕ
′
. Очевидно, что на интервале [0,1]
()
xϕ
′
>1
x
0 0.25 0.5 0.75 1
x2−
+∞
8 4 2.667 2
и, следовательно, метод итераций при таком эквивалентном уравнении
x= −2⋅ln(x)
сходиться не будет;
2)
()
2
2
2/x
x
x
e
e
e
x
−
−
−
=
⋅
=ϕ
′
. На интервале [0,1]
(
)
x
ϕ
′
<1
x
0 0.25 0.5 0.75 1
2
2/x
e
−
0.5 0.441 0.384 0.345 0.303
и, следовательно, метод итераций при таком эквивалентном уравнении
x=
x
e
−
сходится, что хорошо видно из приведенных ниже результатов расчета.
В качестве начального приближения может быть выбрано любое число,
принадлежащее исходному интервалу, например x
0
=0.
n x
n
ϕ(x)=
x
e
−
0 0 1
1 1 0.607
2 0.607 0.738
3 0.738 0.691
4 0.691 0.708
5 0.708 0.702
6 0.702 0.704
7 0.704 0.703

Страницы