Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

65
),...,,;(
~
)(
10 m
aaaxfxy =
,
(5.23)
где m – число параметров;
a
1
…a
m
– неизвестные коэффициенты.
Для отыскания неизвестных коэффициентов применим метод
наименьших квадратов, который является универсальным методом
решения задач аппроксимации.
Идея метода наименьших квадратов заключается в следующем:
определить искомые коэффициенты а
j
зависимости (5.23) таким
образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал
экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений
экспериментальных значений y
i
от соответствующих значений,
вычисленных по аппроксимирующему многочлену (5.23), была
минимальной.
[]
∑
=
=−=
n
i
miim
aaaxfyaaaF
1
2
1010
min),...,,;(
~
),...,,(
,
(5.24)
где F(a
0
, a
1
, …, a
m
) – функция коэффициентов.
В точке минимума функции F ее производные обращаются в нуль.
Отсюда получаем так называемую нормальную систему для
определения коэффициентов a
j
(j=0, 1, …, m).
0
0
=
∂
∂
a
F
,
0
1
=
∂
∂
a
F
, …,
0=
∂
∂
m
a
F
.
(5.25)
Если система (5.25) имеет единственное решение, то оно будет
искомым. Система (5.25) упрощается, если эмпирическая функция
),...,,;(
~
10 m
aaaxf
линейная относительно параметров a
0
, a
1
, …, a
m
.
Рассмотрим наиболее распространенный частный случай, когда
эмпирическая функция представлена полиномом:
P(x)=a
0
+a
1
⋅
x+a
2
⋅
x
2
+...+a
m
⋅
x
m
.
(5.26)
[]
min)(),...,,(
1
2
10
→−=
∑
=
n
i
iim
xPyaaaF
.
Используя систему (5.25), получаем математическое условие
минимума для уравнения (5.26):

Страницы