Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

8
формулы (1.9) вытекает, что относительная погрешность в этом случае
может быть весьма большой, в то время как погрешности уменьшаемого
и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит
потеря
точности
.
1.4. Погрешность произведения и частного
Теорема 2. Относительная погрешность произведения нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы
относительных погрешностей этих чисел
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
u = x
1
x
2
... x
n
. Предполагая для
простоты, что приближенные числа положительны, будем иметь
ln
u = ln x
1
ln x
2
... ln x
n
.
Отсюда, используя приближенную формулу
x
x
x
∆
=∆ln , находим
n
n
x
x
x
x
x
x
u
u
∆
++
∆
+
∆
=
∆
...
2
2
1
1
.
Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим
n
n
x
x
x
x
x
x
u
u
∆
++
∆
+
∆
≤
∆
...
2
2
1
1
.
Если А
i
(i = 1, 2, ... , n) – точные значения сомножителей x
i
и | ∆x
i
|,
как это бывает обычно, малы по сравнению с x
i
, то приближенно можно
положить
i
i
i
i
i
A
x
x
x
δ=
∆
≈
∆
и
δ=
∆
u
u
,
где
δ
i
– относительные погрешности сомножителей x
i
(i=1, 2, ... , n)
и
δ – относительная погрешность произведения. Следовательно,
δ ≤ δ
1
+ δ
2
+ ... +δ
n
.
(1.10)
С л е д с т в и е. Предельная относительная погрешность
произведения равна сумме предельных относительных погрешностей
сомножителей, т. е.
δ
U
= δ
X1
+ δ
X2
+ ... + δ
Xn
.
Если
u
x
y
=
, то ln u =ln x – ln y и

Страницы