Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

95
В настоящей главе нами будут рассмотрены методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ)
называются уравнения, которые содержат одну или несколько
производных от искомой функции y = y(x):
, 0),...,,,(
)(
=′
n
yyyxF
(8.1)
где x – независимая переменная.
Наивысший порядок n, входящей в уравнение (8.1) производной,
называется порядком дифференциального уравнения.
Например:
−= 0)',,( yy
x
F уравнение первого порядка;
−= 0)",',,( yyy
x
F уравнение второго порядка.
Из общей записи дифференциального уравнения (8.1) можно
выразить производную в явном виде:
),,(' y
x
f
y
=
)',,(" yy
x
f
y
=
. (8.2)
Уравнение (8.2) имеет бесконечное множество решений. Для
получения единственного решения необходимо указать дополнительные
условия, которым должны удовлетворять искомые решения.
В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа
задач, для которых доказано существование и единственность решений.
Первый тип – это задачи с начальными условиями.
Для таких задач кроме исходного уравнения (8.1) в некоторой
точке x
0
должны быть заданы начальные условия, т. е. значения
функции y (x) и её производных: y (x
0
) = y
0
,
y' (x
0
) = y
'
0
, . . . , y
(n-1)
(x
0
) = y
n-1
0
.
Второй тип задач – это так называемые граничные, или краевые, в
которых дополнительные условия задаются в виде функциональных
соотношений между искомыми решениями.
Количество условий должно совпадать с порядком уравнения или
системы n. Если решение задачи определяется в интервале x
∈[x
0
, x
k
], то
такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри
интервала. Минимальный порядок обыкновенных дифференциальных
уравнений, для которых может быть сформулирована граничная задача,
равен двум.
Третий тип задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
– это задачи на собственные значения.
Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y(x)
и

Страницы