Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

97
степень k определяет порядок метода;
–эти методы не требуют вычисления производных от
f(x, y), а требуют
вычисления самой функции.
Именно благодаря последнему свойству методы Рунге-Кутты более
удобны для практических вычислений.
8.2.1. Метод Эйлера (метод Рунге–Кутта первого порядка)
Простейшим из численных методов решения дифференциальных
уравнений является
метод Эйлера. Это один из самых старых и широко
известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым
методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи,
положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень
широкого класса численных методов.
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального
уравнения первого порядка
),('
y
x
f
y
=
(8.5)
с начальным условием
y(x
0
)=y
0
, (8.6)
т. е. необходимо решить задачу Коши.
В окрестности точки
x
0
функцию y(x) разложим в ряд Тейлора
...)(" ,
2
)(
)(')()()(
0
2
0
000
+++= xy
xx
xyxxxyxy ,
(8.7)
который можно применить для приближенного определения искомой
функции
y(x). В точке x
0
+h при малых значениях h можно ограничиться
двумя членами ряда (8.7), тогда
),(),(')()()(
2
000
hОxxyxyhxyxy +∆+=+=
(8.8)
где
O(h
2
) – бесконечно малая величина порядка h
2
. Заменим
производную
y'(x
0
), входящую в формулу (8.7), на правую часть
уравнения (8.5):
),,(≈)(
0000
yxfhyhxy
+
+
(8.9)
Теперь приближенное решение в точке
x
1
=x
0
+h можно вновь
рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение
искомой функции в следующей точке
x
2
=x
1
+h. В результате получен
простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется
методом Эйлер,а или методом ломаных.

Страницы