Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

96
их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных
параметров λ
1
, λ
2
, . . . , λ
m
, которые называются собственными
значениями. Для единственности решения на интервале [x
0
, x
k
]
необходимо задать n + m граничных условий.
Большинство методов решения обыкновенных дифференциальных
уравнений основано на задаче Коши.
Сформулируем задачу Коши.
Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка, разрешенное относительно производной
),,(' y
x
f
y
=
(8.3)
удовлетворяющее начальному условию
00
)( yxy
=
. (8.4)
Необходимо найти на отрезке [
x
0
, x
n
] такую непрерывную функцию
y = y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (8.3) и
начальному условию (8.4), т. е. найти решение дифференциального
уравнения. Нахождение такого решения называют решением
задачи
Коши
. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы
приближенных значений
y
1
, y
2
,..., y
n
решения уравнения y(x) в точках x
1
,
x
2
,..., x
n
с некоторым шагом h:
. 2 1 ,
0
n,...,,i=hixx
i
⋅+=
К численному решению обыкновенных дифференциальных
уравнений приходится обращаться, когда не удаётся построить
аналитическое решение задачи через известные функции, хотя для
некоторых задач численные методы оказываются более эффективными
даже при наличии аналитических решений.
8.2. Методы Рунге–Кутты
Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на
практике для решения дифференциальных уравнений, известна под
общим названием: методы Рунге–Кутты. Различные методы этой
категории требуют большего или меньшего объема вычислений и
соответственно обеспечивают большую или меньшую
точность.
Методы Рунге–Кутты обладают следующими отличительными
свойствами:
–эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение
функции в точке
y
i+1
нужна информация только о предыдущей точке (y
i
,
x
i
);
–они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка
h
k
, где

Страницы