Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра. Мозалева Е.М. - 15 стр.

                                                 1 0 1
       A23 = (−1) 2 + 3 ⋅ M 23 = − 0 1 3 .
                                                 4 7 1

       Теорема 2.2.1: Определитель n-го порядка равен сумме произведений
всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

             a11    a12         ... a1n
             ...     ...        ...        ...
      ∆ = ai1       ai 2        ... ain ⇒ ∆ = ai1 ⋅ Ai1 + ai 2 ⋅ Ai 2 + ... + ain ⋅ Ain .     (1.10)
             ...     ...        ...        ...
             an1    an 2 ... ann

      Равенство (1.10) называется разложением определителя по элементам i-
ой строки, аналогично можно получить разложение определителя по
элементам любого столбца.
      Пример 17. Вычислить определитель:
       1 2    3     4
       1 0  1                2
                               =
       3 −1 −1               0
       1     2      0       −5

      (разложим определитель по элементам второй строки)

                            2          3         4                           1    2     4
      = 1 ⋅ (− 1)2 +1 ⋅ − 1 − 1                  0 + 0 ⋅ А22 + 1 ⋅ (− 1)2 + 3 ⋅ 3 − 1   0 +
                            2          0         −5                          1    2     −5
                            1         2          3
      + 2 ⋅ (− 1)  2+ 4
                           ⋅ 3 − 1 − 1 = −(10 + 8 − 15) − (5 + 24 + 4 + 30 ) +
                      1 2        0
      + 2 ⋅ (18 − 2 + 3 + 2 ) = −24.

                        Свойства определителей
       1. Определитель не изменяется при замене всех его строк
соответствующими столбцами (например, для определителя 2-го порядка):

       а11       а12 а11              а21
                    =                     .
       а21       а22 а12              а22

                                                                                                  17